3. Формула приближенного вычисления.
Если
∆x
мало, то приращение
отличается от дифференциала
на
бесконечно малую величину более высокого
порядка, чем ∆x.
Отсюда имеем приближенное равенство
или
.
Тогда
(14.7)
Это и есть формула приближенного вычисления.
Примеры решения задач
1. Найти производные 2-го порядка от следующих функций:
а)
у
= sin
x;
б) у
= ln
.
Решение: а) Найдем сначала производную первого порядка:
у′ = (sin x)′ = 2sin x·cos x = sin 2x,
а затем производную второго порядка:
y′′ = (sin 2x)′ = cos 2x·(2x)′ = 2cos 2x.
б) Находим производную первого порядка и затем второго:
у′
= (ln
)′
=
·(
)′
=
·
=
·
;
y′′
=
·
=
·
=
·
.
2.
Найти производную п-го
порядка от функции у
= log
(x
+ 5).
Решение: Находим последовательно несколько производных данной функции:
у′
= (log
(x
+ 5))′ =
·(x
+ 5)′ =
·
,
у′′
=
=
·
= –
·
,
у′′′
=
·
=
·
=
·
,
у
=
·
=
·
=
,
Можно заметить закономерность и доказать формулу п-й производной методом математической индукции.
у
= (–1)
.
3. Найти у′′ в точке (0; 1) , если функция у задана неявно уравнением х – ху + у = 1.
Решение: Дифференцируем данное уравнение по х и находим первую производную:
4х – (х′у + ху′) + 4у ·у′ = 0,
4х – у – ху′ + 4у ·у′ = 0,
у′
=
.
Теперь находим вторую производную:
у′′
=
=
=
.
Подставляя вместо у′ его значение, получим:
у′′
=
=
=
.
Значение
у′′
в точке (0; 1) равно
.
4.
Найти у′′′
от функции
Решение:
у′
=
=
;
у′′
=
=
;
у′′′
=
=
.
5.
Найти дифференциал dy,
если у
=
arctg
+
ln
.
Решение: Используем формулу (14.3):
dy
=
arctg
+
ln
dx
=
=
·
·
+
·
·
dx
=
=
·
·
+
·
·
dx
=
dx.
6. Насколько приблизительно изменится сторона квадрата, если площадь его увеличилась от 9 м до 9,1 м ?
Решение: Пусть у – сторона квадрата, х – площадь квадрата, тогда
.
По условию задачи: х = 9, Δх = 0,1. Приращение стороны квадрата вычисляем приближенно по формуле, которая получается из (14.7):
f(x + Δx) – f(x) ≈ f′(x)·Δx
f(9,1)
– f(9)
=
≈ f′(9)·0,1
f′(x)
=
,
f′(9)
=
,
тогда Δу
≈
·0,1
= 0,016 м.
7. Найти приближенное значение arctg 1,05.
Решение:
Воспользуемся формулой (14.7). Обозначим
х = 1,
тогда Δх =0,05.
Так как f(x)
= arctg
х,
то f(1)
= arctg
1 =
,
f′(x)
=
,
f′(1)
=
.
Подставляем все данные в формулу (14.7):
arctg 1,05 ≈ + ·0,05 = 0,81.
8.
Найти d
y,
если у
=
+
.
Решение:
dy
= y′dx
=
dx
=
dx,
d
y
=
y′′dx
=
dx
=
=
dx
=
=
dx
=
dx
,
d
y
= y′′′dx
=
dx
=
=
dx
=
=
dx
=
=
dx
.