Задачи для самостоятельного решения

_{Какие из следующих функций являются непрерывными в точке х = –1? В случае нарушения непрерывности установить характер точки разрыва:}

_{1. ; 2.}

_{3. ; 4. ;}

_{5. ; 6.}

_{Исследовать на непрерывность функцию, найти точки разрыва и указать характер разрыва:}

_{7. 8.}

_{9. 10.}

_{Ответы:}

_{1) Точка устранимого разрыва I рода; 2) непрерывна; 3) точка разрыва II рода; 4) точка разрыва II рода; 5) точка разрыва I рода; 6) точка разрыва I рода; 7) x = 0 – точка устранимого разрыва I рода; 8) x = –π – точка разрыва I рода, в точке x = функция непрерывна; 9) x = –2 – точка разрыва I рода; 10) x = –2 – точка разрыва первого рода, x = 2 – точка устранимого разрыва I рода.}

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 12

Вычисление производных

1. Производная и ее геометрический и механический смысл.

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

(12.1)

Используя определение производной, можно находить производную любой функции по схеме:

1) аргументу х даем приращение x 0 и находим для функции у соответствующее значение у + у в точке х + х;

2) получаем у;

3) составляем отношение ;

4) находим предел отношения при x  0, получаем производную

Геометрический смысл: если f (х) непрерывная функция в точке , то производная функции в точке (если она существует) равна тангенсу угла наклона касательной к оси Ох, в точке . Причем функция имеет производную в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существует касательная к графику функции.

Уравнение касательной к графику функции f (х) в точке :

(12.2)

Уравнение нормали к графику функции f (х) в точке :

(12.3)

Механический смысл: если f (t) выражает зависимость пройденного пути движущейся точки от времени t, то скорость точки есть производная от пути по времени: .

2. Правила дифференцирования.

1) Производная константы равна нулю: .

2) Константа выносится за знак производной: .

3) Производная суммы функций: .

4) Производная произведения функций:

. (12.4)

5) Производная частного:

. (12.5)

6) Пусть дана сложная функция у = f (u), где и = g (x) и пусть функция u = g (x) имеет производную в точке х, а функция y = f (u) имеет производную в точке и = g (x). Тогда сложная функция у = f (g(х)) имеет производную в точке х и

(12.6)

3. Производные основных элементарных функций.

(12.7)

Примеры решения задач

1. Исходя из определения производной, вычислить у′(8), если у = .

Решение: По определению производной (12.1) имеем

у′ =

у′(8) = = =

= = .

2. Найти производные следующих функций, используя правила дифференцирования и таблицу производных:

а) у = – + ; б) у = е cos x + .

Решение: а) используем правило дифференцирования суммы и производную константы, а также формулу 2 из таблицы производных (12.7):

у′ = ( – + )′ = ( )′ – ( )′ + ( )′ =

= 5(х )′ – ( )′ + ( )′ = 5· х + 3 + 0 = – + ;

б) используем правила дифференцирования произведения (12.4) и частного (12.5), а также формулы 2, 4, 8 и 10 из таблицы производных (12.7):

у′ = (е cos x)′ + = (е )′cos x + е (cos x)′ + =

= е cos x – е sin x + = е (cos x – sin x) + .

3. Найти производные следующих функций, используя правило дифференцирования сложной функции:

а) у = arccos x; б) y = ; в) y = tg ln .

Решение: а) используем правило дифференцирования сложной функции (12.6), а также формулу 12 из таблицы производных (12.7):

у′ = (arccos x)′ = 2arccos x · (arccos x)′ = 2arccos x · = – ;

б) снова воспользуемся производной сложной функции (12.6):

y′ = = = · =

= = ;

в) в этом примере необходимо использовать правило дифференцирования сложной функции (12.6) трижды, а в конце надо использовать правило дифференцирования дроби (12.5):

y′ = (tg ln )′ = 3tg ln ·(tg ln )′ =

= 3 tg ln · (ln )′ =

= 3 tg ln · · · =

= 3 tg ln · · =

= 3 tg ln · · = .

4. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции у = в точке с абсциссой х = 2.

Решение: Уравнения касательной и нормали к графику функции определяются формулами (12.2) и (12.3). Вычислим сначала значения функции и производной в точке х :

у = у(2) = ,

у′ = = = ,

у′(2) = .

Подставим найденные значения в формулу (12.2):

у – = (х – 2).

Получаем уравнение касательной: 2х – 6у – 1 = 0.

Подставив теперь значения в формулу (12.3), получим уравнение нормали:

у – = –3(х – 2) или 6х + 2у – 13 = 0.