Предел числовой последовательности. Предел функции
1. Предел числовой последовательности.
Число
а
называется пределом
числовой последовательности
,
если для любого
>
0
найдётся натуральное число N
такое, что
п
> N выполняется
неравенство | хn
- а
| < .
Или, используя краткую запись,
> 0 N n > N | хn - а | < . (9.1)
В
этом случае пишут
или
хn
а
и говорят, что хn
стремится к а
или
последовательность
сходится к а.
Если последовательность имеет конечный предел, то говорят, что она сходится. Если последовательность не имеет конечного предела, то ее называют расходящейся.
Арифметические свойства пределов последовательностей:
Пусть
a,
b,
тогда
1. a b,
2. a b,
3. a b, b 0.
2. Предел функции.
Число b называют пределом функции f(x) при х а, если
> 0 > 0 x
|
x
– a
|
<
|
f(x)
– b
|
< .
(9.2)
Определение предела говорит о том, что если х приближается к а по любому закону, оставаясь не равным а, то f(x) приближается к b, делается как угодно близким к b.
Справедливы следующие свойства предела функции.
Если функция имеет предел при х а, то он единственен.
Арифметические свойства пределов: пусть
,
,
где b
и
с
– конечные числа, тогда
,
,
,
если
c
0.
Примеры решения задач
1.
Показать, используя определение предела
последовательности (9.1), что при n→
последовательность
имеет
пределом число
.
Решение:
Здесь х
–
=
–
=
.
Определим, при каком значении n
выполняется равенство
<
;
так как
>
,
то
n
>
.
Итак, если
,
то при n
> N
выполняется неравенство
<
,
т. е.
.
Так, например, при = 0,1, заключаем, что неравенство < 0,1 выполняется при n > N = 13. Аналогично, неравенство < 0,01 выполняется при n > N = 125.
2.
Доказать, используя определение предела
последовательности (9.1), что
.
Решение:
Имеем для любого
0:
=
=
,
следовательно,
или
,
отсюда получаем
.
Таким образом, если выбрать
,
то при
N
будет выполняться неравенство
.
Следовательно,
.
3.
Доказать, используя определение предела
функции (9.2), что функция f
(x)
= 3 x
– 2 в точке x
= 1
имеет предел равный 1, т.е.
.
Решение:
Имеем для любого
0:
=
=
,
отсюда получаем
,
так что, если взять
,
то из того, что
будет следовать, что
.
4. Найти пределы:
а)
;
б)
;
в)
.
Решение:
а)
На основании непрерывности функции в
точке
искомый предел равен значению функции
в этой точке, т.е.
б)
При
числитель стремится к 20, т.е. является
ограниченной функцией, а знаменатель
стремится к 0, т.е. является бесконечно
малой величиной. Очевидно, что их
отношение есть величина бесконечно
большая, т.е.
.
в)
,
так как отношение ограниченной функции
к бесконечно большой величине
есть величина бесконечно малая.
5. Найти пределы:
а)
;
б)
.
Решение:
а)
Здесь
при
числитель и знаменатель дроби стремятся
к нулю. В таком случае говорят, что имеет
место неопределенность
.
Для того, чтобы избавится от неопределенности,
раскладываем
числитель и знаменатель на множители
и сокращаем дробь на одинаковый множитель
:
.
б) Здесь снова имеем неопределенность . Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, получим
6. Найти:
а)
;
б)
;
в)
.
Решение:
а)
Числитель
и знаменатель дроби неограниченно
возрастают при
.
В таком случае говорят, что имеет место
неопределенность вида
.
Вынесем
в числителе и знаменателе дроби х
в максимальной степени за скобки и
сократим, получим
=
.
б)
Имеем неопределенность вида
.
Умножим и разделим выражение в скобках
на сопряженное ему выражение, получим
в) Приведем дроби к общему знаменателю:
=
.