Непрерывность функции. Точки разрыва функции

1. Непрерывность функции.

Приведем три эквивалентных определения функции, непрерывной в точке.

1. Функция y = f(x), определённая в некоторой окрестности точки а и в самой этой точке, называется непрерывной в точке a, если

.

2. Функция у = f(x), определённая в некоторой окрестности точки а и в самой этой точке, называется непрерывной в точке а, если   > 0   > 0  x

| x – a | <  | f(x) – f(a) | < .

3. Функция у = f(x), определённая в некоторой окрестности точки а и в самой этой точке, называется непрерывной в точке а, если приращение функции у = f (a + x) – f(a) в точке а стремится к нулю, когда приращение аргумента х = х – а стремится к нулю (см. рис. 11.1), т.е.

.

Рис. 11.1

2. Точки разрыва.

Если функция определена в некоторой окрестности точки а, но не является непрерывной в этой точке, то говорят, что она имеет разрыв в этой точке, точка а при этом называется точкой разрыва функции f (x).

Приведем классификацию точек разрыва функции.

1. Точка разрыва х = а функции называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные пределы , , но функция все же разрывна в а.

   1. а – точка скачка функции , если (см. рис. 11.2),

   2. а – точка устранимого разрыва функции , если скачок равен нулю, т.е. (см. рис. 11.3).

2. Точка разрыва х = а функции называется точкой разрыва второго рода, если а не является точкой разрыва первого рода, т.е. если равен бесконечности или не существует хотя бы один из односторонних пределов , .

   1. а – точка бесконечного разрыва функции , если пределы и существуют, но хотя бы один из них бесконечный (см. рис. 11.4).

Рис. 11.2 Рис. 11.3

Рис. 11.4

Примеры решения задач

Установить характер точки разрыва функции в точке или доказать непрерывность функции в этой точке:

1. ; 2. 3. ;

4. ; 5.

Решение:

1. При функция не определена, следовательно, она не непрерывна в этой точке. Так как то – точка устранимого разрыва I рода.

2. По сравнению с первым примером функция доопределена в точке так, что следовательно, данная функция непрерывна в этой точке.

3. При функция не определена. Так как пределы функции слева и справа от точки конечны и различны:

,

то в точке функция имеет разрыв I рода.

4. При х = 0 _{функция не определена;} , . Так как один из односторонних пределов бесконечен, то _{– точка разрыва II рода.}

_{5. При х = 0 функция не определена. Так как односторонние пределы не существуют (значения функции колеблются от –1 до 1 и от 1 до –1, не стремясь ни к какому числу), то х = 0 – точка разрыва II рода.}