Задачи для самостоятельного решения
Решить системы методом Крамера:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Решить систему методом Гаусса:
7.
Исследовать систему линейных уравнений.
Если система совместна, то найти общее
и одно ее частное решение:
Решить системы методом Крамера:
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Решить систему методом Гаусса: 
14.
Исследовать систему линейных уравнений.
Если система совместна, то найти общее
и одно ее частное решение:
Ответы:
1)
;
2)
;
3)
;
4) 
;
5)
;
6)
;
7)
система несовместна; 8)
;
9)
;
10) 
;
11) 
;
12)
;
13) 
;
14) система
совместна и определенна, о.р. = ч.р.:
(2; 3; 5).
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 4
Векторная алгебра. Вычисление координат, модуля и направляющих косинусов вектора
1. Векторная алгебра.
Вектором на плоскости и в пространстве называется направленный отрезок.
Помимо
обозначения
,
где А
начало вектора, а В
– его конец, будем использовать также
малые латинские буквы, выделенные жирным
шрифтом: а,
b,
c,
… .
Длиной
вектора называется расстояние между
началом и концом вектора. Длину вектора
называют еще модулем
вектора и обозначают
.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Назовем два вектора равными, если они коллинеарны, имеют одинаковые длины и одинаковые направления.
Если
известны координаты точек
и
,
то координаты вектора а
=
вычисляются по
формулам:
(4.1а)
Формулы
для вычисления длины
вектора а
,
а также
расстояния
между точками
и
:
(4.2а)
Декартовы
координаты на плоскости определяются
аналогично, с той разницей, что там
отсутствует ось аппликат и, соответственно,
третья координата. Таким образом, если
а =
и
,
то, очевидно,
(4.1б)
(4.2б)
Обозначим , и – углы наклона вектора а к координатным осям Ох, Оу и Оz, соответственно. Три числа cos, cos и cos называются направляющими косинусами вектора а.
Справедливы равенства:
(4.3)
Формулы для вычисления направляющих косинусов:
(4.4)
Если равенства (4.4) возвести в квадрат и сложить, то получим:
(4.5)
Приведем еще условие коллинеарности двух векторов:
(4.6)
Таким образом, два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.
2. Деление отрезка в данном отношении.
Рассмотрим в пространстве две точки и . Пусть – прямая, проходящая через точки и , а М – некоторая точка на этой прямой (см. рис. 4.1).
Говорят,
что точка М
делит отрезок
в отношении ,
если выполняется равенство:
.
Отметим, что может быть любым числом, за исключением 1. Причем, если М лежит между точками и , то – положительное, если М лежит правее точки или левее точки , то – отрицательное.
Рис. 4.1
Координаты точки М могут быть найдены по формулам:
(4.7)
Эти формулы называются формулами деления отрезка в данном отношении.
В частности, если = 1, то точка М делит отрезок пополам:
(4.8)
Заметим, что формулы (4.7) деления отрезка в данном отношении имеют смысл, только если 1.