Задачи для самостоятельного решения
1. Найти производную от неявных функций у:
а)
е
= х
+ у;
б) arctg
=
ln(x
+ y
);
в)
= 3arcsin
;
г) x
= y
.
2. Найти производные у′ заданных функций у в указанных точках:
а) (х + у) = 27(х – у) при х = 2 и у = 1;
б)
уе
= е
при х
= 1 и у
= 1.
3. Найти производную у′ заданных функций:
а)
б)
в)
г)
4. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра t = t .
5. Найти производные следующих функций, применяя предварительное логарифмирование функции:
а)
y
=
;
б) y
=
;
в)
у
=
;
г) y
= x
(lg
x)
.
6. Найти производные следующих функций:
а)
+
=
;
б) у
=
;
в) х + ln = y при х = 1 и у = 1.
7. Найти производную у′ заданных функций:
а)
б)
в)
г)
8. Написать уравнения касательной и нормали к кривой y = 4x + 6xy в точке (1; 2).
9. Применяя предварительно логарифмирование функции, найти производные следующих функций:
а)
y
=
;
б) y
= (2
)
+
3
в)
y
=
sin
x
;
г) у
=
.
10. Найти у′ функций у, пользуясь формулой для нахождения производной сложно-степенной функции:
а)
y
= х
;
б) y
= (arсcos
3x)
;
в)
y
= (tg2x)
г) у
= (2e
+1)
.
Ответы:
1)
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
2)
а) 0; б)
;
3)
а)
1; б)
;
в)
;
г)
;
4)
,
;
5)
а) 
;
б) 
;
в)
;
г) x
(lg x)
;
6) а) 
;
б) 
;
в) 0; 7)
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
8) 
,
;
9) а)
·
;
б) ((2
)
+3
)
;
в)
sin
x
;
г)
;
10)
а)
х
;
б)
(arсcos
3x)
;
в)
(tg2x)
;
г) (2e
+1)
.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 14
Производные высших порядков. Дифференциал функции. Приложения дифференциалов
1. Производные высших порядков.
Пусть
дифференцируема в точке
.
Если
также дифференцируема в точке x
,
то значение выражения
называется второй
производной
функции
в точке x
и обозначается
или
По
индукции определяется производная
nго
порядка
в точке x
,
как производная от производной (n
– 1)-го
порядка
и
обозначается
или
Пусть
дана сложная функция
,
где
,
причем функции
и
имеют производные 1-го и 2-го порядков.
Тогда сложная функция
так же имеет вторую производную. Поскольку
,
то
.
Следовательно,
(14.1)
Аналогично вычисляются производные 3-го и высших порядков сложной функции.
Пусть
функция задана параметрически
Если существуют вторые производные
и
,
то существует и
.
Действительно, так как
,
то
.
Отсюда получаем
(14.2)
Аналогично можно находить производные 3-го и высших порядков от функции, заданной параметрически.
2. Дифференциал функции.
Из
определения производной
следует равенство
,
где
является бесконечно малой величиной.
Величина
называется
дифференциалом
функции
f
(x)
и обозначается dy.
Величина
называется дифференциалом
независимой переменной
и обозначается
.
Тогда дифференциал функции вычисляется
по формуле:
(14.3)
Пусть дважды дифференцируема в точке х. Дифференциал от дифференциала этой функции в точке х называется дифференциалом второго порядка:
(14.4)
Если n раз дифференцируема в точке x, то по индукции можно определить дифференциал nго порядка функции в точке x:
(14.5)
Формулы (14.4) и (14.5) справедливы, только если х является независимой переменной.
Рассмотрим
сложную функцию:
,
где
.
Найдем дифференциал второго порядка
сложной функции. Так как
,
то имеем
,
следовательно, получаем формулу второго дифференциала сложной функции:
(14.6)