Прямая линия на плоскости

1. Общее уравнение прямой.

Уравнение вида

Ах + Ву + С = 0  (6.1)

называется общим уравнением прямой. Коэффициенты А и В в уравнении (6.1) являются координатами вектора нормали к этой прямой.

2. Уравнение прямой в отрезках.

(6.2)

Заметим, что числа a и b равны алгебраическим величинам отрезков, которые прямая отсекает на координатных осях Ох и Оу, соответственно (см. рис. 6.1).

3. Каноническое уравнение прямой.

Любой ненулевой вектор а(т, п), параллельный данной прямой, называется направляющим вектором прямой.

Каноническое уравнение прямой – это есть уравнение прямой, проходящей через точку и параллельно вектору а(т, п):

(6.3)

4. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и .

или (6.4)

Рис. 6.1 Рис. 6.2

5. Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору п(А, В).

(6.5)

6. Параметрические уравнения прямой.

(6.6)

7. Прямая с угловым коэффициентом.

Назовем углом наклона прямой к оси Ох угол α, на который надо повернуть положительную полуось Ох, чтобы она совпала с данной прямой (см. рис. 6.2).

Тангенс угла наклона прямой к оси Ох назовем угловым коэффициентом этой прямой. Обозначим его k. Таким образом, k = tg .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:

y = kx + b  (6.7)

где b – алгебраическая величина отрезка ОВ, который прямая отсекает на оси Оу.

Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом k и проходящей через точку имеет вид

(6.8)

8. Нормальное уравнение прямой.

Рассмотрим произвольную прямую. Проведем из начала координат перпендикуляр к данной прямой. Если  – угол наклона этого перпендикуляра к оси Ох, а р – расстояние от начала координат до рассматриваемой прямой, то нормальное уравнение прямой имеет вид:

x cos  + y sin  – p = 0  (6.9)

Заметим, что р не может быть отрицательным, так как это расстояние от точки О до прямой.

Для того, чтобы привести общее уравнение прямой (6.1) к нормальному виду (6.9) необходимо умножить все уравнение Ах + Ву + С = 0 на нормирующий множитель , знак которого противоположен знаку свободного коэффициента.

9. Расстояние от точки М(х, у) до прямой, заданной общим уравнением.

(6.10)

10. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Нахождение угла между прямыми.

1) Пусть две прямые заданы общими уравнениями: и .

Условие параллельности этих прямых эквивалентно условию коллинеарности векторов нормалей к этим прямым и , т.е.

(6.11)

Условие перпендикулярности этих прямых эквивалентно равенству нулю скалярного произведения векторов нормалей и , т.е. или

(6.12)

Угол между прямыми равен углу между нормалями к этим прямым, который определяется по формуле:

(6.13)

2) Абсолютно аналогично обстоит дело, если прямые заданы каноническими уравнениями: .

Условие параллельности, перпендикулярности, а также угол между прямыми можно определить, используя направляющие векторы прямых и .

Условие параллельности: (6.14)

Условие перпендикулярности: (6.15)

Угол между прямыми: (6.16)

3) Пусть теперь прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами: .

Условие параллельности прямых (6.17)

Угол между прямыми находится по формуле: (6.18)

Условие перпендикулярности прямых: (6.19)