Задачи для самостоятельного решения
1. Найти производную функции указанного порядка:
а)
y
= x
cos x
,
y′′′
– ? б)
y
=
,
y
–?
в)
y
= sin
x,
y
– ?
2. Найти дифференциал функции указанного порядка:
а)
u
=
,
d
u
– ? б) y
= (4х
+ 3)·2
,
d
y
– ?
3. Найти производную функции указанного порядка:
а)
у
=
,
y′′′
– ? б) y
=
,
y′′
– ?
в)
y′′
– ? г) у
= 3
,
y
– ?
4. Насколько приблизительно увеличится объём шара, если его радиус R = 15 см удлинится на 2 мм?
5. Вычислить приближенно:
а)
;
б) lg
0,9; в) sin
31°.
6.
Удовлетворяет ли функция у
=
уравнению у
у′′
+ 1 = 0?
7. Найти дифференциал функции указанного порядка:
а)
z
=
+ arcsin
x,
dz
– ? б)
y
= 4
,
d
y
– ?
в)
u
=
,
d
u
– ? г) ln
= arctg
,
dy
– ?
Ответы:
1) а) 
;
б) 
;
в) 
;
2) а) 
;
б) 
;
3) а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
4) 565
;
5) а) 2,03;
б) –0,045; в) 0,515; 6)
да; 7) а) 
;
б) 
;
в)
;
г)
.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 15
Правило Лопиталя. Точки экстремума функции.
1. Правило Лопиталя.
Пусть
функции
непрерывны и дифференцируемы в некоторой
окрестности точки a,
за исключением может быть самой
точки
a
(а
–
число или
).
Причем
в любой точке этой окрестности и выполнено
одно из условий:
Тогда
если существует
,
то существует и
,
причем
(15.1)
(
– число или
).
Правило Лопиталя позволяет раскрывать неопределенности вида или . Правило Лопиталя можно применять несколько раз подряд, но только конечное число раз, пока не исчезнет неопределенность. Остальные виды неопределенностей приводятся к ним следующим образом:
1)
().
Преобразование
дает неопределенность вида
.
2)
().
Преобразование
дает неопределенность вида
,
если f(x)
– бесконечно малая функция, а g(x)
бесконечно большая, или неопределенность
вида
,
в противном случае.
3)
Преобразуем функцию следующим образом
,
тогда в степени получим неопределенность
вида ().
2. Возрастание и убывание функции.
Если
производная дифференцируемой функции
строго положительна внутри некоторого
промежутка, т.е.
,
то функция строго монотонно возрастает
на этом промежутке.
Если
производная дифференцируемой функции
строго отрицательна внутри некоторого
промежутка, т.е.
,
то функция строго монотонно убывает на
этом промежутке.
3. Точки экстремума функции.
Точка
называется точкой
максимума (рис.
15.1) (минимума
(рис. 15.2)) функции
,
если существует окрестность
этой точки, такая, что
.
Рис. 15.1 Рис. 15.2
Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции.
Необходимое условие экстремума. Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки и имеет экстремум в этой точке. Тогда производная функции в точке либо равна нулю, либо не существует.
Геометрически это означает, что в точке экстремума функции y=f(x) касательная к ее графику либо параллельна оси OX (как на рисунке 15.3), либо не существует (как на рисунке 15.4).
Рис. 15.3 Рис. 15.4
Достаточные
условия экстремума.
Пусть функция f(x)
определена в точке
,
непрерывна в некоторой окрестности
точки
и дифференцируема в этой окрестности,
за исключением может быть самой точки
.
Тогда если производная
меняет знак при переходе через точку
,
то
является точкой экстремума. При этом,
если при переходе через точку
производная меняет знак с «+» на «–»,
то
– точка максимума; если с «–» на «+»,
то
– точка минимума. Если знак производной
при переходе через точку
не меняется, то
не является точкой экстремума.
Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками. Из последней теоремы следует, что критические точки необязательно будут точками экстремума.
Общее условие существования экстремума. Пусть в точке функция имеет производные до п-го порядка включительно, причем
.
Тогда,
если п
– четное, то функция
имеет в точке
экстремум, а именно максимум, если
,
и минимум, если
.
Если п
– нечетное, то функция
не имеет экстремум в точке
.
На практике часто применяется следствие из этого утверждения:
Если
для функции f(x)
в точке
первая производная
равна нулю, а вторая производная
отлична от нуля, т.е.
,
,
то
является точкой экстремума функции
f(x),
причем
1)
если
,
то
– точка минимума функции f(x);
2)
если
,
то
– точка максимума функции f(x).