Примеры решения задач
Даны две точки
и
.
Найти координаты вектора
.
Решение:
Координаты
находятся по формуле (4.1а):
.
В
данном случае имеем:
и
,
т.е.
.
2.
При каких значениях
векторы
и
коллинеарны?
Решение:
Воспользуемся условием коллинеарности
векторов (4.6). Так как , то
.
Отсюда находим, что
.
3.
Разложить вектор
по векторам
и
.
Решение:
Требуется представить вектор в виде
,
где
– некоторые числа. Найдем их, используя
определение равенства векторов. Имеем
,
,
и равенство
,
т.е.
.
Отсюда следует:
т.е.
.
Следовательно,
.
4.
Найти длину вектора
и его направляющие косинусы.
Решение: Воспользуемся формулами (4.2а) и (4.4). Имеем
;
.
5.
Нормировать вектор
.
Решение:
Найдем длину вектора
по формуле(4.2а):
.
Искомый единичный вектор имеет вид:
.
6. Отрезок АВ разделен на пять равных частей. Известна первая точка деления С(3, –5, 7) и последняя F(–2, 4, –8). Определить координаты концов отрезка и его длину.
Решение:
Точка С
делит отрезок АВ
в отношении
,
а точка F
делит отрезок АВ
в отношении
(см. рис. 4.2).
Рис. 4.2
Обозначим
координаты точек А
и В:
,
.
Воспользуемся формулами (4.7) деления
отрезка в отношении
и
.
Получим равенства:
Из этих равенств составим три системы:
Решая
их, находим точки
и
.
Найдем теперь расстояние между точками А и В по формуле (4.2а):
Задачи для самостоятельного решения
1.
Найти вектор
,
если
и
.
2.
Нормировать вектор
.
3. Найти длину вектора и его направляющие косинусы.
4.
Может ли вектор составлять с координатными
осями следующие углы:
.
5.
Вектор
составляет с осями
и
углы
.
Какой угол он составляет с осью
?
6.
Даны векторы
.
При каком значении коэффициента
векторы
и
коллинеарны?
7.
Представить вектор
как линейную комбинацию векторов
.
8.
Найти длину медианы
треугольника
,
если
.
9.
Найти вектор
,
если
и
.
10.
Нормировать вектор
.
11.
Найти длину вектора
и его направляющие косинусы.
12.
Может ли вектор составлять с координатными
осями следующие углы:
.
13.
Вектор
составляет
с осями
и
углы
.
Вычислить его координаты при условии,
что
.
14.
Даны точки
.
Проверить, коллинеарны ли 
векторы
и .
15.
Заданы векторы
.
Найти разложение вектора
по базису
.
16.
Найти длину медианы AK
треугольника
ABC,
если
.
Ответы:
1)
;
2)
;
3)
;
;
4)
не может; 5)
или
;
6)
;
7) 
;
8)
;
9)
;
10)
;
11) 
;
;
12)
может; 13)
или
;
15)
;
16)
.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 5
Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
1. Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:
ab = |a||b|cos (5.1)
Скалярное произведение коммутативно и удовлетворяет свойству линейности по каждому из сомножителей.
Из определения скалярного произведения следует часто применяющаяся формула для вычисления длины вектора:
(5.2)
Пусть
теперь векторы а
и b
заданы своими координатами: а
и b
.
Скалярное произведение векторов равно
сумме произведений соответствующих
координат этих векторов:
ab
=
(5.3)
В
качестве следствия из этой теоремы
получаем формулу для вычисления косинуса
угла
между векторами a
и b:
(5.4)