Рис. 2.7. Знак минус в законе электромагнитной индукции

37

которое позволяет записать соотношение (2.20) в следующем виде:

∫div BdV = 0.

V

Так как объем V произволен, то подинтегральное выражение равно нулю

Мы получили закон (уравнение) непрерывности магнитного поля в дифференциальной форме. Он показывает, что магнитное поле не имеет истоков. Линии индукции магнитного поля всегда замкнутые.

Закон непрерывности справедлив для любых полей в любой среде потому что в любой среде индукции поля учитывают и внешнее, и наведенное поле.

4. Четвертое уравнение электродинамики: теорема о потоке вектора электрической индукции.

Теорема о потоке вектора электрической индукции в интегральной форме:

Согласно этой теореме поток вектора электрической индукции Ψ через замкнутую поверхность равен суммарному свободному заряду Q, который находится в объеме, ограниченном этой поверхностью.

Для того чтобы получить эту теорему в дифференциальной форме, используем преобразование Остроградского-Гаусса. С учетом произвольности объема получим эту теорему в следующем виде:

Согласно этой теореме дивергенция вектора электрической индукции равна объемной плотности свободных зарядов в каждой точке поля. Источниками вектора электрической индукции являются только свободные заряды. Поэтому введение вектора D позволяет получить очень удобные соотношения между полем и зарядами, в которых не фигурирует поляризация среды. Силовые линии электрического поля начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных.

38

5. Следствия из первого и четвертого уравнений электродинамики: закон непрерывности полного тока и закон сохранения заряда.

Закон полного тока в дифференциальной форме описывается первым уравнением электродинамики (2.16). Возьмем от обеих частей этого уравнения дивергенцию:

div rot H = div (δ + ddtD ).

Так как дивергенция левой части уравнения всегда равна нулю, то равна нулю и дивергенция правой:

Полученное выражение носит название закона (уравнения) непрерывности полного тока в дифференциальной форме и показывает, что полный ток непрерывен.

Для получения этого закона в интегральной форме проинтегрируем его по произвольному объему V :

∫div (δ + dD)dV = 0

V dt

и учтем преобразование Остроградского-Гаусса. В итоге мы получим закон (уравнение) непрерывности полного тока в интегральной форме:

согласно которому полный ток через замкнутую поверхность равен нулю. Если электрическое поле постоянно, то dD dt = 0 , ток смещения равен

нулю и закон непрерывности полного тока переходит в закон непрерывности постоянного тока:

∫δdS = 0 – интегральная форма;

S

div δ = 0 – дифференциальная форма.

Для выяснения физического смысла этого закона представим его в следующем виде

40

получим соотношение (2.26) в следующем виде:

Мы получили закон сохранения заряда в дифференциальной форме. Из этой формы закона видно, что источником тока являются изменяющиеся во времени заряды. Линии тока начинаются там, где заряд уменьшается, и кончаются там, где он увеличивается. Линии тока претерпевают разрыв там, где происходит изменение заряда.

Таким образом, закон сохранения заряда является следствием из первого и четвертого уравнений электродинамики.

Из приведенных соотношений легко установить физический смысл закона непрерывности полного тока.

Если из объема V (рис.2.8) вытекает ток переноса J , то заряд в объеме уменьшается. При этом уменьшается поток Ψиндукции через поверхность S, охватывающую объем, т.е. в объем втекает ток смещения. Так как поток вектора индукции равен заряду, то эти токи равны по величине и противоположны по знаку. Их сумма, называемая полным током, равна нулю. В случае конденсатора (рис.2.5) в объем, ограниченный поверхностью S, втекает по проводу ток переноса J, а вытекает в пространство между обкладками ток смещения Jс. Полный ток в цепи получается непрерывным.

Рассмотренные выше законы и уравнения совместно с материальными уравнениями, учитывающими свойства среды, образуют полную систему уравнений электродинамики. Полная система уравнений электродинамики включает в себя (табл.2.4):

1) четыре основных уравнения, определяющих вихри и истоки электромагнитного поля (фундаментальная система уравнений электродинамики);

2)три уравнения, учитывающих параметры среды;

3)два дополнительных уравнения, как следствия из основных.

Система уравнений электродинамики исчерпывающим образом характеризует электромагнитное поле. Из этих уравнений следует, что электромагнитное поле представляет собой особую форму материи, характерную тем, что она осуществляет взаимодействие электрических зарядов и связывает их в единую систему. Поле и заряды при этом выступают как формы проявления этой единой материальной системы. Уравнения электродинамики определяют как законы взаимодействия поля и зарядов, так и внутренние свойства самого электромагнитного поля.

электрического и магнитного полей, это форма материи, существующей во времени и пространстве объективно, вне нашего сознания.

Электрическое и магнитное поле есть две характеристики, две формы проявления электромагнитного поля.

Уравнения электродинамики описывают очень широкий круг явлений, изучаемых в радиотехнике. Однако их применение ограничено известными пределами. Они неприменимы: для атомных явлений, где нужна квантовая теория поля; для скоростей, близких к световым, где необходимо использовать теорию относительности.

Первые четыре уравнения электродинамики (табл. 2.4) образуют фундаментальную систему уравнений электродинамики. Они справедливы для любой среды. Параметры среды в них не входят. Для того, чтобы система этих уравнений стала полной, т.е. чтобы при некоторых дополнительных условиях она однозначно определяла поле, к ней добавлены уравнения 5, 6 и 7 (табл.2.4), учитывающие свойства среды при помощи параметров εa, μa и γ. Эти уравнения накладывают дополнительные связи на векторы поля. В общем случае они являются нелинейными, так как параметры εa, μa и γ зависят от полей. В первом приближении их можно считать линейными. Следует иметь в виду, что параметры εa, μa и γ зависят и от частоты. Эта зависимость становится более сильной в сантиметровом диапазоне волн и очень сильной в оптическом. У ферромагнитных материалов μ с ростом частоты уменьшается и в сантиметровом диапазоне волн относительная магнитная проницаемость составляет несколько единиц, а для постоянного тока она составляет несколько сотен.

Для линейных сред полная система уравнений электродинамики является линейной, т.е. все переменные величины входят в нее в первой степени.

Уравнения электродинамики определяют, как протекают электромагнитные процессы в пространстве и времени. Они позволяют по начальным данным найти состояние процесса в любой момент времени.

Четыре основных уравнения (Максвелла), определяющие вихри (первое и второе) и истоки (третье и четвертое) электромагнитного поля (ЭМП). Фундаментальная система уравнений электродинамики