64
Сравним его с известной теоремой векторного анализа
|
|
rot grad ϕ = 0 , |
||
согласно которой поле градиентов скалярной функции ϕ является |
||||
безвихревым. На основании сравнения можно считать, что |
||||
. |
. |
|
||
|
E |
+ jω |
A |
= −grad ϕ . |
Из последнего выражения получим соотношение для напряженности электрического поля:
. |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
, |
(2.6I) |
|
E = − jω A+ grad ϕ |
|||||
|
|
|
|
|
|
где функция ϕ называется скалярным электродинамическим потенциалом.
Таким образом, с помощью формул (2.60) и (2.61) мы выразили напряженности электрического и магнитного поля через электродинамические потенциалы.
Векторный и скалярный потенциалы находятся из неоднородных волновых уравнений для потенциалов (уравнений Даламбера).
Векторный потенциал удовлетворяет уравнению
2 |
. |
+ k2 |
. |
|
= −μ δ |
, |
(2.62) |
A |
A |
|
|||||
|
|
|
|
|
a cm |
|
|
которое называется неоднородным волновым уравнением ( уравнением Даламбера) для векторного электродинамического потенциала.
Неоднородное волновое уравнение (уравнение Даламбера) для скалярного электродинамического потенциала:
2 |
2 |
ρcm |
|
|
ϕ +k ϕ = − |
|
. |
(2.63) |
|
ε |
||||
|
|
a |
|
|
Приведенные неоднородные волновые уравнения позволяют найти электромагнитное поле, если заданы токи или заряды. Если заданы токи, то из
уравнения (2.62) определяется векторный потенциал A , затем из уравнения связи
div A = − jωεaμaϕ -
- cкалярный потенциал и далее из уравнения (2.61) и (2.60) - векторы поля E и
H .
65
2.5. Вопросы для самопроверки
Первый уровень обученности
1.В чем заключается суть макроскопического подхода в теории электромагнитного поля?
2.Какие виды распределения зарядов и токов Вы знаете?
3.Какие заряды называются точечными?
4.Что послужило основанием для введения понятия элемента
тока?
5.Назовите основные векторы электромагнитного поля. Запишите формулы для их определения.
6.Изложите основные принципы графического построения картин поля.
7.В чем отличие свободных зарядов от связанных?
8.Какие векторы электромагнитного поля зависят от параметров среды, а какие не зависят?
9.В чем суть явлений, называемых поляризацией и намагничиванием среды?
10.Запишите уравнения, связывающие векторы электромагнитного поля с параметрами среды.
11.Каким образом различают виды сред в зависимости от свойств параметров среды?
12.Какие среды называются анизотропными?
13.В чем различие между системами уравнений электродинамики, записанными в общем виде и в комплексной форме?
14.В чем разница между дифференциальной и интегральной формами уравнений электродинамики?
15.Дайте определение переменного электромагнитного поля. Запишите полную систему уравнений электродинамики в интегральной и дифференциальной формах. Поясните физический смысл уравнений.
16.В чем заключается физический смысл тока смещения?
17.Чем объяснить, что во втором уравнении электродинамики в отличие от первого, поставлен знак минус?
18.Каковы ограничения на применение уравнений электродинамики?
19.Какая среда называется диэлектриком, а какая проводником?
20.Какие токи существуют в вакууме, где потери отсутствуют?
21.Перечислите граничные условия на границе раздела двух сред. Какой вид принимают граничные условия, если вторая среда является идеальным проводником?
22.Какое поле существует внутри идеального проводника?
23.Каким образом направлены силовые линии электрического и магнитного полей у поверхности идеального проводника?
24.Прокомментируйте теорему Умова-Пойнтинга, записанную в дифференциальной и интегральной формах.
66
25.Дайте определение вектора Пойнтинга. Укажите его размерность.
26.Как определяется направление вектора Пойнтинга?
27.Выведите формулу для усредненного за период вектора Пойнтинга.
28.Как определяется комплексный вектор Пойнтинга?
29.Сформулируйте теорему единственности решения основных уравнений электродинамики.
30.В чем заключается принцип двойственности?
31.Запишите волновые уравнения и выражения для электродинамических потенциалов. Поясните их применение.
32.В чем заключаются основные отличия волновых уравнений от уравнений электродинамики?
33.Запишите уравнения для электродинамических потенциалов. Поясните
их.
Второйуровень обученности
34.Как определяется сила тока в случае, если ток меняется во времени?
35.Чем объяснить, что напряженность электрического поля и индукция магнитного поля зависят от параметров среды?
36.Почему суммарное поле в среде отличается от поля в вакууме?
37.Чем объясняются свойства ферромагнитных веществ?
38.Можно ли утверждать, что при постоянном токе электромагнитная энергия передается по проводам?
39.Чем объяснить, что показания вольтметра в переменном электромагнитном поле зависят от того, как расположены провода от вольтметра до объекта измерения?
40.Почему закон о потоке вектора электрической индукции справедлив только для свободных зарядов?
41.Как и почему меняются диэлектрические свойства сред при увеличении частоты?
42.Получите из уравнений электродинамики волновые уравнения.
43.Возможно ли использование для определения векторов E и H только волновых уравнений?
44.Какова последовательность определения поля с использованием электродинамических потенциалов?
67
3. СТАТИЧЕСКИЕ И СТАЦИОНАРНЫЕ ПОЛЯ
3.1.Электростатика
Электростатическим полем называется электрическое поле неподвижных неизменных зарядов, не изменяющихся во времени. Рассмотрение свойств статических полей необходимо не только потому, что эти поля широко используются на практике, но и потому, что многие электродинамические задачи могут быть решены методами статики.
3.1.1.Система уравнений электростатики. Скалярный электростатический потенциал и его определение
Рассмотрим основные уравнения электродинамики (2.16), (2.19), (2.21), (2.23) и материальное уравнение (2.12):
rot H =δ + ∂∂Dt ; rot E = − ∂∂Bt ; div B = 0;
div D = ρ;
D =εa E,
при условии, что входящие в них величины не зависят от времени. В этом случае связь между электрическим и магнитным полями разрывается, и мы сможем выделить следующую систему уравнений электростатики в дифференциальной форме, описывающую свойства статического электрического поля:
rot |
|
= 0; |
(3.1) |
||||||
E |
|||||||||
div |
|
= ρ; |
(3.2) |
||||||
D |
|||||||||
|
|
=εa |
|
. |
(3.3) |
||||
|
D |
E |
|||||||
Этим уравнениям соответствуют следующие уравнения в интегральной форме:
|
∫E dl = 0; |
(3.4) |
|
A |
|
∫D d S =∫ρ dV. |
(3.5) |
|
S |
V |
|
Первое уравнение электростатики является следствием из закона электромагнитной индукции, а второе - теоремой о потоке вектора электрической индукции.
68
Из уравнений (3.1) и (3.2) вытекает, что электростатическое поле является безвихревым. Электростатическое поле является потенциальным. Потенциальное поле - это поле, в котором величина линейного интеграла
A
∫ Edl
B
вдоль некоторого пути зависит только от положения начальной и конечной точек А и В и не зависит от формы пути.
Скалярный электростатический потенциал ϕ является частным случаем скалярного электродинамического потенциала
|
. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
jω A+ grad |
|
|||
|
E = − |
ϕ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при частоте ω = 0 , т.е. для постоянных полей: |
|
|||||||
|
|
|
|
= −grad ϕ . |
(3.6) |
|||
|
|
|
E |
|||||
Знак минус означает, что вектор E направлен в сторону уменьшения потенциала. Поясним назначение знака минус.
|
grad ϕ |
||
1 |
|
|
|
E |
|||
no |
2 |
|
|
ϕ1 |
ϕ2 |
||
ϕ1 >ϕ2 |
|
|
|
Рис. 3.1. Назначение знака минус в выражении, связывающим скалярный потенциал с вектором напряженности электрического поля
На рис. 3.1 изображены отрезки двух весьма близко расположенных эквипотенциалей. Одна из них имеет потенциал ϕ1 , другая - ϕ2. Пусть ϕ1 >ϕ2 .
Тогда в соответствии с определением градиента (подраздел 1.3) изобразим его на рис. 3.1 вектором, перпендикулярным эквипотенциальным линиям, направленным от ϕ2 к ϕ1 (в сторону увеличения потенциала). Напряженность электрического поля направлена от более высокого потенциала (ϕ1) к более
низкому (ϕ2). Следовательно, знак минус означает, что направление вектора E и направление grad ϕ противоположны (рис. 3.1).
69
Связь между потенциалом и зарядами устанавливается уравнением, вытекающим из скалярного уравнения Даламбера (2.63):
2ϕ + k2ϕ = − ρcm .
εa
При ω = 0 коэффициент распространения k = 0 и мы получим скалярное уравнение для определения потенциала:
2ϕ = − |
ρ |
|
εa . |
(3.7) |
Полученное выражение носит название скалярного уравнения Пуассона. Таким образом, мы получили дифференциальные соотношения, определяющие потенциал, если известны заряды, и определяющие напряженность электрического поля через потенциал.
Часто бывает необходимо определить потенциал поля в данной точке, если известна напряженность поля. В этом случае можно воспользоваться следующей формулой
0
ϕ = ∫ E dl .
M
Исходя из последней формулы можно дать следующее определение для скалярного потенциала: скалярный потенциал в произвольной точке М представляет собой линейный интеграл от вектора напряженности
электрического поля E , взятый от точки М до некоторой точки 0 , принятой за начало отсчета потенциала. Так как электростатическое поле потенциально, то потенциал поля зависит от координаты точки и не зависит от формы пути интегрирования. Последнее выражение позволяет выяснить физический смысл потенциала. Поскольку напряженность электрического поля равна силе, с которой поле действует на единичный положительный заряд, то произведение
Edl , стоящее под знаком интеграла, равно работе, совершаемой полем по
перемещению этого заряда на пути dl .
Следовательно, потенциал поля в точке М равен работе, которую совершит поле при переносе единичного положительного точечного заряда из точки М в точку О , принятую за начало отсчета потенциала.
С понятием потенциала тесно связано понятие электрического напряжения между двумя точками. Электрическим напряжением или просто напряжением между двумя точками А и В называется разность потенциалов между этими точками:
O |
|
|
|
O |
|
|
|
B |
||||
U AB =ϕA −ϕB = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Edl − ∫ E dl = ∫ E dl , B. |
||||||||||||
A |
|
|
|
B |
|
|
|
A |
||||
Для того чтобы определить потенциал поля, если заданы заряды, необходимо решить дифференциальное уравнение Пуассона, в котором под знак оператора Лапласа входит неизвестный потенциал.
70
Решение уравнения Пуассона имеет следующий вид:
вобъеме V с объемной плотностью ρ
ϕ= 1 ∫ ρ dV; 4πεa V r
на поверхности S с поверхностной плотностью σ
ϕ = 1 ∫ σ dS; 4πεa S r
на линии l с линейной плотностью заряда τ
ϕ = |
1 |
|
∫ |
τ dl; |
||||
4πεa |
||||||||
|
l |
r |
||||||
в случае точечных зарядов |
|
1 |
|
|
qi |
|
||
ϕ = |
∑ |
, |
||||||
4πε |
r |
|||||||
|
|
a |
i |
|
i |
|||
(3.8)
(3.9)
(3.10)
(3.11)
где r – расстояние от элементарных зарядов до точки, где ищется поле; qi – i-й точечный заряд.
Таким образом, при заданном распределении зарядов в однородной среде напряженность электрического поля может быть вычислена при помощи потенциала следующим образом: определяется потенциал поля в данной точке при помощи формул (3.8) – (3.11), и затем вычисляется напряженность поля по формуле (3.6).
Уравнение Пуассона и его решение позволяют определить поле как в точках, где расположены заряды, так и в тех точках, где зарядов нет.
В тех точках однородной среды, где нет зарядов (ρ = 0) , в уравнении
Пуассона (3.7) правая часть становится равной нулю, и это уравнение принимает следующий вид:
2ϕ = 0 . |
(3.12) |
Полученное уравнение называется скалярным уравнением Лапласа и представляет собой однородное статическое уравнение.
Таким образом, оператор Лапласа от потенциала электростатического поля в однородной среде без зарядов равен нулю. Поле, созданное электрическими зарядами, удовлетворяет уравнению Лапласа во всех точках, где нет зарядов.
Как уже отмечалось ( подраздел 1.3), при анализе и графическом построении полей широко используется понятие поверхностей равного потенциала. Напомним, что поверхностью равного потенциала (в случае скалярного поля электростатического потенциала ϕ эти поверхности
71
называются эквипотенциальными) называется поверхность, на которой потенциал сохраняет неизменное значение. Аналитически уравнение поверхности равного потенциала получается приравниванием потенциала постоянной величине:
ϕ(x, y, z)= const.
Поверхность равного потенциала всегда перпендикулярна электрическим силовым линиям, потому что только в этом случае перемещение заряда по поверхности не связано с работой поля:
Edl = 0,
где dl - элемент пути по поверхности равного потенциала и, следовательно, все точки этой поверхности находятся под одинаковым потенциалом.
В случае, например, точечного заряда поверхности равного потенциала являются сферами ( рис. 1.4).
3.1.2. Граничные условия электростатики
Граничные условия электростатики представляют собой частный случай граничных условий электродинамики для полей, не зависящих от времени. Поэтому на границе раздела двух сред напряженность и индукция электростатического поля связаны между собой теми же соотношениями (2.40) и (2.42), что и в случае переменных полей, так как в граничные условия зависимость от времени не входит.
Приведем эти соотношения:
E |
t 2 − |
E |
t1 = 0, |
(3.13) |
Dn2 − Dn1 =σ. |
(3.14) |
|||
Если на границе раздела нет поверхностных зарядов (σ = 0), то граничные условия упрощаются и принимают вид:
Et 2 = Et1, Dn2 = Dn1,
tgα2 = εa1 . tgα1 εa2