6
Для изучения теории электромагнитного поля наиболее подходящим и удобным математическим аппаратом является векторное исчисление, основные определения и теоремы которого излагаются ниже.
1.2.Векторы и действия над ними
Понятие вектора как величины, характеризуемой в отличие от скаляра не только числом, но и направлением в пространстве, соответствует многим физическим явлениям.
Например, в физике в качестве векторов рассматриваются сила и скорость и т.д. Применение векторов позволяет отображать физические закономерности в удобной форме, которая при необходимости преобразуется для разных систем координат.
Векторное сложение и вычитание производится по правилам параллелограмма и треугольника (рис.1.1).
|
|
|
= a − |
|
|
|
|
d |
b |
||||
a |
|
|
|
|
c = a + |
|
|
|
|
|
b |
b
Рис.1.1 Сложение и вычитание векторов
Скалярное произведение двух векторов а и в -это скалярная величина, равная в декартовой системе координат
|
|
|
= ахвх + ауву + аz вz = |
|
|
|
|
|
|
|
|
соs( |
а^в |
). |
(1.1) |
а |
в |
|
a |
|
|
в |
|
Скалярное произведение максимально у параллельных векторов и равно нулю у взаимно - перпендикулярных векторов.
Векторное произведение двух векторов а и в - это вектор, направленный перпендикулярно плоскости расположения перемножаемых векторов в сторону поступательного перемещения правого винта, если его вращать от первого сомножителя ко второму по кратчайшему пути (рис.1.2).
7
a
[ab ]
b
Рис.1.2. Векторное перемножение
Векторное произведение может быть представлено через проекции векторов в виде:
|
|
|
|
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
[ |
a |
|
в |
]= ax |
aу |
аz |
= |
||
|
|
|
|
|
вx |
ву |
|
|
|
|
|
|
|
|
вz |
|
|||
= i(aувz − аz ву)(−1)2 + j(axвz − аz вx )(−1)3 + k(axвy − аyвx )(−1)4
(1.2)
= −[ва].
Модуль векторного произведения может быть найден через модули векторов и угол между ними
ав = а в sin(а^в). |
(1.3) |
|
Векторное произведение максимально у взаимно перпендикулярных векторов и равно нулю у параллельных векторов.
Примеры величин, являющихся скалярными и векторными произведениями.
Поток Ф вектора магнитной индукции B
|
|
|
|
|
|
Ф = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bd S , |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
S |
||||||||||||
ток, поток вектора объемной плотности тока |
|
|
|
|
||||||||||||||
δ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
J = ∫ |
|
d |
|
, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
δ |
S |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
S |
||||||||||||
где d |
|
= dS |
|
|
|
– вектор элементарной площадки d |
|
, направленной |
||||||||||
S |
n0 |
|
S |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
перпендикулярно поверхности площадки dS (рис.1.3), |
||||||||||||
|
|
|
|
|
– единичный вектор нормального направления (нормаль). |
|||||||||||||
|
|
|
n0 |
|||||||||||||||
8
dS
n0 b
a
dS = a b
Рис. 1.3. Вектор ориентированной площадки
Отсюда следует, что поток максимален, когда силовые линии векторов B или δ перпендикулярны поверхности dS или параллельны вектору d S .
Скалярным произведением является такая работа А вектора силы F на пути l или э.д.с. - работа силового вектора напряженности электрического поля
Е
A = ∫ |
|
|
|
|
э.д.с. = ∫ |
|
|
|
|
Fdl, |
Edl . |
||||||||
l |
l |
||||||||
Работа векторного поля по замкнутому пути l называется циркуляцией векторного поля. Например, ток J , согласно закону полного тока, равен
циркуляции вектора напряженности магнитного поля H
J = ∫δd S = ∫Hdl ,
S l
где l - является контуром площадки S .
Примером векторного произведения является вектор Умова-Пойнтинга p , направление которого указывает направление перемещения удельной мощности электромагнитного поля
|
= [ |
|
|
|
]= |
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
Ex |
Ey |
Ez |
, Вт/м2 . |
||
p |
E |
H |
|||||||
|
|
|
|
|
|
H x |
H y |
H z |
|