75 |
|
следует, что |
|
div A =0, |
(3.26) |
т.е. поле вектора A является чисто вихревым. Полученное соотношение позволяет однозначно определить векторный потенциал. Векторный потенциал магнитного поля удовлетворяет векторному уравнению Пуассона:
2 |
A |
= −μa |
|
, |
(3.27) |
δ |
которое представляет собой частный случай векторного уравнения Даламбера
(2.62)
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
A + k A |
= −μa δ, |
|
|
|
|
||||||||||||||||
при частоте колебаний ω= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решением векторного уравнения Пуассона является соотношение |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
μ |
|
|
|
|
|
|
μ |
|
|
|
|
|
d j |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
∫ |
δ |
|
|
|
|
∫ |
|
|
(3.28) |
|||||||||
|
A = |
a |
= |
a |
|
|
, |
||||||||||||||||
|
4π |
|
|
|
r |
|
4π |
|
r |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где интеграл берется по всему объему, в котором протекают токи.
Таким образом, магнитное поле по заданным токам может быть вычислено путем последовательного использования формул (3.28), (3.25) с
учетом (3.26).
3.2.3. Граничные условия для стационарного магнитного поля
Граничные условия для стационарного магнитного поля являются частным случаем граничных условий электродинамики для случая, когда все величины не зависят от времени, поэтому на основании соотношений (2.39) и (2.41) получаем следующие граничные условия для стационарного магнитного поля, которые совпадают с граничными условиями электродинамики:
|
t2 |
− |
|
t1 |
= [ |
|
s |
|
o ], |
(3.29) |
|
H |
H |
δ |
n |
||||||||
Bn |
2 |
− Bn |
= 0, |
|
|
|
(3.30) |
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
поэтому к ним относятся все выводы и замечания, сделанные для граничных условий электродинамики.
76
3.2.4. Магнитостатика
Магнитостатика изучает поля постоянных магнитов.
В областях, где нет свободных токов (δ =0) , уравнения и граничные условия стационарного магнитного поля принимают следующий вид:
|
rot |
|
|
|
|
= 0; |
|
||||||
|
H |
(3.31) |
|||||||||||
|
div |
|
|
= 0; |
|
||||||||
B |
(3.32) |
||||||||||||
|
|
|
|
= μa |
|
|
. |
|
|||||
|
|
B |
H |
(3.33) |
|||||||||
|
H |
t 2 − |
H |
t1 = 0; |
(3.34) |
||||||||
|
Bn2 − Bn1 = 0; |
(3.35) |
|||||||||||
|
tgα2 |
|
= μa2 . |
(3.36) |
|||||||||
|
tgα1 |
|
|
|
|
μa1 |
|||||||
Магнитостатическое поле, т.е. |
|
поле в отсутствии постоянных |
токов |
||||||||||
описывается уравнениями (3.31), (3.32). В этом случае нет ни источников магнитного поля (div B = 0), ни вихрей (rot H = 0) . Поэтому в магнитостатике
магнитное поле можно получить лишь за счет намагниченности среды. Намагниченность среды обусловлена молекулярными (атомарными) токами. Каждый электрон, вращаясь вокруг ядра, создает магнитный атомарный (молекулярный) момент. Количество намагниченности среды характеризуется вектором намагниченности M ( подраздел 2.1.3).
Из уравнений (3.31) и (3.32) видно, что магнитостатическое поле является безвихревым.
Введем понятие скалярного магнитостатического потенциала. Из сравнения уравнения (3.31) с известной из векторного анализа теоремой
rot grad ϕM = 0
можно считать, что магнитное поле H является полем градиентов скалярного
магнитного потенциала ϕM : |
|
||
|
|
= −grad ϕM . |
(3.37) |
|
H |
||
Магнитостатический потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа |
|
||
|
2ϕM = 0. |
(3.38) |
|
В областях пространства, где δ = 0, rot H = 0 , магнитное поле можно
рассматривать, как потенциальное. В этом случае величина скалярного магнитостатического потенциала не зависит от формы пути, а зависит только от положения точек, как и у скалярного электростатического потенциала.