4.Расчет многократно кинематически неопределимых рам методом перемещения.

Идея метода перемещений, проиллюстрированная выше примером расчета простой рамы, позволяет сформулировать порядок расчета любой плоской стержневой системы на силовые воздействия..

1. Определяют степень кинематической неопределимости n

n=n_у+n_л (13.3)

где n_у – число жестких узлов в раме,

n_л - число возможных линейных перемещений узлов и подвижных опор рамы.

Степень кинематической неопределимости равна числу неизвестных углов поворота и перемещения жестких узлов рамы Z

2. Выбирают основную систему путем введения дополнительных связей и записывают систему канонических уравнений метода перемещений.

2.1 В каждый жесткий узел вводится “плавающая” заделка, препятствующая повороту узла, но не мешающая ее линейному перемещению( всего вводится n_у заделок),

2.2 Вводят дополнительные опорные стержни, препятствующие линейным перемещениям узлов системы (всего вводится n_л опор).

Таким образом, основная система метода перемещений – это система балок с закрепленными и несмещаемыми концами.

Пример выбора основной системы в раме на рис.3.10а, у которой узлы имеют линейные перемещения, показан на рис. 3.10.с

В отличие от метода сил в методе перемещений возможна только одна основная система.

На рис 3.25 показаны неизвестные углы поворота узлов Z₁ – Z₄ и их линейные перемещения при расчете рамы, приведенной на рис. 3.10

2.3.Для определения неизвестных записывают канонические уравнения метода перемещений, смысл которых состоит в том, что приравниваются нулю реакции во введенных связях, т.е. снимается противоречие между рассчитываемой Рис.3.25

и основной системой.

Для системы n раз кинематически неопределимой канонические уравнения имеют вид

( 14.3 )

Здесь - реакция в введенной связи с индексом i от единичного перемещения связи с индексом j,

R_{iP -} реакция в введенной связи с индексом i от заданной нагрузки.

На основе теоремы о взаимности реакций система симметрична относительно диагонали, то есть

( 15.3 )

3. Определяют коэффициенты и свободные (грузовые) члены канонических уравнений.

3.1 В основной системе последовательно строят единичные эпюры моментов М_i – эпюры изгибающих моментов от поворотов заделок на угол, равный единице и от единичных линейных перемещений по направлению введенных дополнительных опорных стержней. Эти эпюры строят при помощи таблиц, которые есть в любом учебнике строительной механики (см. таблицу на стр. 42). Нетрудно построить эти эпюры ,внимательно изучив приводимый ниже пример.

3.2 В основной системе по таблицам строят грузовую эпюры М_Р от заданной нагрузки.

3. Вычисляют коэффициенты и свободные члены канонических уравнений, последовательно рассматривая равновесие узлов (для определения реактивных моментов) или отдельных стержней рамы ( для определения реакций во введенных опорах).

4. Решают систему канонических уравнений, находят неизвестные углы поворота и перемещения узлов Z₁ ,Z₂ …

5. Строят окончательную эпюру изгибающих моментов М

М=М_Р+М₁Z₁ + M₂Z₂ + … ( 16.3 )

Удобно вначале построить так называемые исправленные эпюры моментов М₁Z₁, M₂Z₂ …,полученные умножением ординат каждой единичной эпюры М_i на найденное соответствующее значение Z_i .Если какое либо перемещение или угол поворота Z_i получилось со знаком минус ,то это означает, что исправленная эпюра должна быть построена на противоположном, чем единичная эпюра, волокне.

7.Проводят первый этап проверки: рассматривают равновесие моментов во всех жестких узлах рамы.

8.По эпюре моментов (по формуле Журавского) строят эпюру поперечных сил Q

9.Из условия равновесия узлов рамы определяют продольные усилия N в ее стержнях.

10. Проводят второй этап проверки: отрезают раму от опор,прикладывают найденные продольные и поперечные силы в полученных сечениях и проверяют равновесие рамы вцелом.

Пример

Требуется построить эпюры М , Q и N в раме, показанной на рис. 3.26

1. В раме один жесткий узел (n_у = 1 ₎, имеющий одно возможное горизонтальное перемещение этого узла (n_л = 1). Следовательно, рама два раза кинематически неопределима

n = n_у + n_л = 2 (17.3)

2. На рис.3.27 показана основная система

Рис.3.26

Неизвестные угол поворота узла В ( Z₁) и линейное перемещение узла (Z₂ ) определяют, решая систему канонических уравнений

( 18.3)

3. Для вычисления коэффициентов и грузовых членов канонических уравнений строят единичные и грузовую эпюры изгибающих моментов.

Можно избежать ошибок при построении единичных эпюр, если вначале изобразить картину деформаций рамы от единичных перемещений . Предварительно следует вычислить погонные жесткости всех стержней рамы:

(19.3 )

Картина деформаций и эпюра изгибающих моментов от поворота заделки в узле В на угол равный единице, построенная по таблицам ,показаны на рис.3.28

Картина деформаций и эпюра изгибающих моментов от Рис.3.28

единичного линейного перемещения Z₂ =1, построенная по таблицам, показана на рис. 3.29

Указание.

Удобно следовать договоренности:

повороты узлов проводить по часовой стрелке, горизонтальные линейные перемещения – вправо, Рис.3.29

вертикальные – вверх.

Грузовая эпюра моментов М_Р , построенная по таблицам, показана на рис. 3.30

Найдем реакцию (реактивный момент) в заделке узла В от поворота этой заделки на угол Z=1.

Для этого вырежем узел В на эпюре М₁ и рассмотрим равновесие этого узла ( рис.3.31а)

Рис.3.30

( 20.3)

Из равновесия этого же узла на эпюре М₂ найдем (рис.3.31b)

Рис.3.31

Указание:

Направление реакций всегда совпадает с направлениями единичных перемещений.

Чтобы найти реакцию опорной связи поступают следующим образом. Вырезают горизонтальный элемент BD и рассматривают его равновесие (рис.3.31с). В уравнение равновесия кроме искомой реакции входят поперечные силы на примыкающих стержнях. Эти поперечные силы находят из таблиц (по абсолютной величине они равны опорным реакциям R). Еще проще эти поперечные силы определяются по формуле Журавского: они равны тангенсам угла наклона единичной эпюры на рассматриваемом участке. Например на правой стойке поперечная сила равна 0.1875EI/4=0.046875EI и т.д.

(22.3)

Напоминание: Коэффициенты с одинаковыми индексами всегда положительны.

Грузовые члены и находят подобным же образом, используя эпюру М_Р. Из рис. 3.32 а,b следует

( 23.3)

Здесь 4 – поперечная сила в узле В на стойке АВ

(24.3)

4. Решая систему канонических уравнений , Рис.3.32

получают значения и

, (25.3)

5.Строим окончательную эпюру изгибающих моментов М = М_Р +М₁X_{1 +} М₂X₂

Предварительно построим так называемые исправленные эпюры, умножив ординаты единичных эпюр на найденные значения неизвестных. Если неизвестное получилось со знаком минус ( в рассматриваемом случае – это Z₁),то эпюру строят на противоположном волокне (рис.3.33)

Рис.3.33

Складывая грузовую эпюру (рис.3.30) с исправленными (рис.3.33), получаем окончательную эпюру М. (рис.3.34 )

Рис.3.34

На этом этапе важно проверить равновесие узлов.

Рассмотрим равновесие узла В; (нужно не забыть действующий в этом узле момент 8 кНм).. ( Рис.3.35)

(26.3)

Равновесие соблюдено точно.

6.Построение эпюры поперечных сил Q.

Вычисляем значения поперечных сил на всех участках рам Рис.3.35

(27.3)

Эпюра Q показана на рис.3.36

7.Построение эпюры продольных сил N

Продольные силы определяют из равновесия узлов рамы. Все искомые усилия полагают растягивающими, действующими от узла (рис.3.37). Рис.3.36

Поперечные силы списываем с эпюры Q. При этом нужно помнить, что положительные поперечные силы вращают узел по часовой стрелке, а отрицательные – против часовой стрелки. Эпюра N показана на рис.3.38

Рис.3.37

Узел D.

Узел В.

Рис.3.38

8.Проверка равновесия рамы в целом.

Отрезаем раму от опор и в полученных сечениях прикладываем соответствующие поперечные и продольные силы ьс эпюр Q и N (Рис.3.39)

Равновесие соблюдается точно

Замечание: Иногда в расчетах не выполняется уравнение равновесия сил в направлении введенной дополнительной опоры, в то время как равновесие моментов в узлах соблюдается. Это может быть связано с ошибками в вычислении коэффициентов и грузовых членов в Рис.3.39

каноническом уравнении , выражающем равенство нулю реакции в веденной опоре. ( в рассматриваемом случае – ошибки в вычислении и (или) R_2P).

Вопросы для самоконтроля

1.В чем состоит основная идея метода перемещений?

2.Что понимают под степенью кинематической неопределимости стержневой системы и как она определяется?

3.Что принимают за неизвестные при расчете стержневой системы методом перемещений?

4.Как построить основную систему метода перемещений?

5.Можно ли построить несколько основных систем метода перемещений при расчете заданной стержневой конструкции?

6.Каков физический смысл канонических уравнений метода перемещений?

7.Каков физический смысл коэффициентов r_ij и свободных (грузовых) членов R_iP канонических уравнений?

8.Как строят единичные и грузовые эпюры изгибающих моментов в основной системе?

9.Как вычисляют коэффициенты r_ij и свободные члены R_iP канонических уравнений?

10.Как определяют значения неизвестных Z_i ?

11.Каков порядок построения окончательной эпюры изгибающих моментов М?

12.В чем состоит первая обязательная проверка окончательной эпюры изгибающих моментов М?

13.Где искать ошибку в расчете, если при равновесии моментов в узлах на окончательной эпюре М нет равновесия рамы в целом?