Глава 5 Основы расчета стержневых систем на устойчивость.

1. Понятие о потере устойчивости, критической нагрузке и методах расчета на устойчивость

Системы, применяемые в качестве строительных конструкций, под действием нагрузки должны находиться в состоянии устойчивого равновесия.

Устойчивым называют такое состояние системы, находящейся в равновесии, когда по устранению каких либо случайных причин, выведших систему из этого состояния, она неизбежно возвращается к начальному состоянию.

Тяжелый шарик на поверхности, имеющей неровности, может находиться в одном из трех положений равновесия : устойчивое (рис.6.1а),неустойчивое(рис.5.1.b) и безразличное (рис.5.1.с).

Точно также сжатый упругий стержень Рис.5.1

(рис.5.2)при центральном сжатии находится в равновесии лишь в случае малого отклонения свободного конца от вертикали. При заданной схеме сооружения и заданном характере нагружения устойчивость равновесия зависит от величины нагрузки.

В каждом конкретном случае можно найти такую нагрузку ( или параметр, определяющий всю заданную систему нагрузок) при которой первоначальная форма равновесия становится неустойчивой, то есть возможно другое, качественно новое деформированное состояние, являющееся также состоянием равновесия.

Выход системы из первоначального состояния Рис.5.2,

равновесия в новое состояние равновесия называется потерей устойчивости, а

нагрузка, при которой осуществляется этот переход, называется критической.

Обеспечение устойчивости строительной конструкции особенно важно потому, что процесс потери устойчивости протекает очень быстро и практически ведет к разрушению .

Потеря устойчивости, характеризуемая появлением качественно новых деформаций(говорят о разветвлении форм равновесия или бифуркации этих форм),

называется потерей устойчивости 1-ого рода ( потерей устойчивости по Эйлеру)

Характер этих новых деформаций зависит от формы конструкции. На рис.5.3 показано несколько характерных форм потери устойчивости стержня при центральном сжатии (Рис.5.3а), обжатого кольца (рис.5.3b), плоской формы изгиба балки (рис.5.3с) и внецентренном растяжении тонкостенного стержня (рис.5.3d).

В инженерной практике часто встречается и потеря устойчивости 2-ого рода в конструкциях, имеющих несовершенства формы и (или)напряженной состояние Рис.5.3

с самого начала нагружения обремененное кроме сжатия изгибом. До определенного уровня нагружения перемещения растут пропорционально нагрузке.

. Но в какой то момент времени эта пропорциональность нарушается и деформации начинают расти во много раз быстрее, чем нагрузка. Наступает момент, когда для роста деформаций не нужно наращивать нагрузку. Явление развивается все время в одном направлении и меняется только в количественном отношении.

Нагрузка, соответствующая началу увеличения деформаций без приращения нагружения, называется критической при потере устойчивости 2-ого рода

Классическим примером потери устойчивости 1-ого рода служит задача Эйлера о шарнирно опертом стержне, сжатом центральной силой (рис. 5.4).

Задача состоит в определении критической силы F_кр в момент потери устойчивости, когда начальная прямолинейная форма равновесия нарушается и возникает изгиб.

Изгибающий момент, вызванный силой F равен

M= F y (1.5)

Подставляя(1.5) в уравнение изгиба балки, получаем

ЕI y^´´ = -F y. (2.5)

Вводя обозначение

, (3.5)

уравнение (2.6) можно записать в виде

y’’+ (4.5)

Решение этого однородного уравнения имеет вид

(5.5) Рис.5.4

Постоянные С₁ и С₂ определяют из граничных условий:

1) при x = 0 y=0,

2)при x=l y=0.

Из условия 1) получают C₁ =0.

Из условия 2) следует

0 = С₂ (6.5)

Постоянная С₂ не равна нулю, так как в противном случае прогиб y равен нулю и потери устойчивости не будет. Поэтому

(7.5)

Это равенство имеет смысл только тогда, когда

(8.5).

Отсюда следует

(9.5)

Подставляя (9.5) в (3.5), легко найти выражение для F

(10.5)

Наименьшее значение F получается при n = 1. Это и будет критическая сила, при которой становится возможной изгибная форма равновесия, то есть потеря устойчивости

(11.5)

Определяя постоянные С₁ и С₂ в решении (5.5) при других граничных условиях,, можно найти соответствующие критические силы (рис.5.5)

Рис.5.5

Рассмотренный пример определения критической нагрузки из условия равновесия системы, перешедшей в новое состояние после разветвления (бифуркации) форм равновесия, - классический пример применения статического метода.

Применяя энергетический метод, ищут критическую нагрузку как наименьшую нагрузку, при которой можно отклонить систему от положения равновесия не увеличивая ее полную энергию.

Динамический метод основан на рассмотрении колебаний системы и определении нагрузки, при которой амплитуды свободных колебаний становятся неограниченно большими.

2. Устойчивость плоских рам.

При рассмотрении задач принимаются следующие допущения.

1. Рассматриваются только узловая нагрузка, не вызывающая изгиба рамы. (Рис.5.6)

2. 

   Рис.5.6

   Стержни считаются нерастяжимыми и несжимаемыми.

3. Изменением расстояний между концами стержней, возникающим при изгибе, пренебрегают.

4. Влиянием приращений продольных сил, возникающих в момент потери устойчивости, пренебрегают.

До момента достижения нагрузкой критического значения равновесие сохраняется в недеформированной (прямолинейной) форме. При достижении нагрузкой критического значения возможно появления изгибной формы равновесия. (Рис.5.7)

,

Рис.5.7

Так как новое изогнутое состояние есть состояние равновесия, то задача может быть решена любым методом, применяемым для расчета равновесных систем, в том числе методом сил или методом перемещений .

При выборе основной системы нужно стремиться к тому, чтобы в ней не возникало изгибных деформаций от узловой нагрузки. В основной системе метода перемещений это условие выполняется всегда

2.1 Расчет рам на устойчивость методом перемещений.

При расчете рамы этим методом основная система выбирается обычным способом: закрепляются все узлы от угловых и линейных перемещений, например, так , как показано на рис.5.8

В канонических уравнениях грузовые члены равны нулю, так как отсутствует поперечная нагрузка, и система канонических уравнений становится одно-

родной.

(12.5)

Коэффициенты этой системы – это реакции

в веденных связях от единичных поворотов и перемещений узлов с учетом действия продольных сил.

В коэффициенты входит параметр нагрузки F, Рис.5.8

то есть эти коэффициенты являются функциями продольных сил, что принципиально отличает их от коэффициентов обычных канонических уравнений метода перемещений.

В деформированном , критическом состоянии перемещения Z_i не равны нулю. Это возможно только тогда, когда определитель однородной системы (12.5) равен нулю

D = (13.5)

Раскрывая определитель, получают трансцендентное уравнение, называемое уравнением устойчивости, из которого находят весь спектр критических значений нагрузки, наименьшее из которых и является решением задачи.

Особенность расчета состоит в нахождении коэффициентов системы (12.5) с учетом продольной сжимающей силы.

Опуская выкладки, покажем лишь ход рассуждений на примере стержня с одним заделанным и другим шарнирно опертым краем (рис.5.9а)

При повороте заделки на угол Z = 1 в ней возникает реактивный момент М_А .

Рассматриваемая задача статически эквивалентна задаче о продольно поперечном изгибе шарнирно опертой балки, нагруженной на опоре моментом М_А и сжатой силами F (Рис.5.9b).

Рис..5.9

Уравнение изгиба стержня

,

где момент ,

можно записать в виде

(14.5)

В уравнении (14.5) введено обозначение

Решение уравнения (14.5) при граничных условиях y = 0 при x = 0 и x = l имеет вид

(15.5)

После преобразований, связанных с приравниванием угла поворота на опоре А единице, получают выражение для М_А

(16.5)

или

(17.5)

где , .

В процессе преобразования введено следующие обозначение

(18.5)

или

(17.6) (19.5)

Параметр , при котором выполняется условие (13.5) и определяет критическую нагрузку F_крит.

Для других случаев опирания сжатого стержня от единичного поворота и от единичных линейных перемещений опорные моменты и опорные реакции приведены в таблице 1 .

Функции и табулированы для значений v от 0 до и приведены в Приложении 2.

Итак, задача об определении критической нагрузки сводится к определению из уравнения (13.5) параметра и по формуле (19.5) критической нагрузки F_крит..

Таблица 2

Рассмотрим простой пример: найдем критическую нагрузку на раму, изображенную на рис.5.10а.

Рис.5.10

В раме один жесткий несмещаемый узел. Основная система показана на рис. 5.10b.

Эпюра изгибающих моментов от поворота узла на угол Z₁ = 1 показана на рис.5.11. На сжатой стойке 1В эпюра построена по таблице 2 ,а на горизонтальном элемента А1 – по таблице 1 .

Каноническое уравнение метода перемещений для один раз кинематически неопределимой рамы без правой части имеет вид.

(20.5)

Так как Z₁ ( иначе бы не было Рис.5.11

изгибания и, следовательно, потери устойчивости), то должно выполняться условие

(21.5)

Из равновесия узла 1 (рис.6.12) находим реактивный момент

(22.5)

Выполняя условие (21.5), приравнивая нулю, получаем

Рис. 5.12 (23.5)

По Приложению 2 для этого значения находим величину параметра . Для этого нужно проинтерполировать значение между 5,1 и 5,2.

По формуле (19.5) находим критическую нагрузку

(24.5)

Интересно сравнить полученное значение с результатами? полученными для стойки такой же длины с двумя защемленным концами ( ) и одним защемленным, а другим шарнирно опертым концом ( )

(25.5)

(26.5)

Критическая нагрузка в раме расположена между этими значениями.

Задумайтесь над возможными выводами из этого сравнения.

Для многократно кинематически неопределимых систем трансцендентное уравнение, получаемое из (13.5), оказывается сложным. и требует привлечения вычислительной техники.

При небольшом числе неизвестных задачу можно решать “вручную” путем подбора ( метод “тыка”), используя Приложение 2.

В ряде случаев Критическую нагрузку можно найти прямым вычислением функций, содержащих параметр .

Пример

Требуется найти критическую нагрузку на раму, изображенную на рис. Рама изготовлена из железобетонных элементов сечением 40 x 40 см.( рис.5.13 )

Рис.5.13

Дано :

- площадь сечения, (рис.5.14)

EI = 56700 кНм² . Рис.5.14

Рама дважды кинематически неопределима. Основная система по методу перемещений показана на рис.5.15

Канонические однородные уравнения имеют вид

(27.5)

, (28.5)

На рис. 5.16 показаны единичные эпюры изгибающих моментов Рис.5.15

от поворота заделки в узле 1 на угол Z₁ = 1 и заделки в узле 2 на угол Z₂ = 1.

Рис.5.16

Из равновесия узла 1 получают

=0 (29.5.)

(30.5)

Из равновесия узла 2 получают

31.5)

Подставляя коэффициенты в уравнение ( 28.5 ) , получаем

. (32.5)

Сокращая на i² , находим функцию

(33.5)

Из приложения 2 для найденного значения функции находим величину параметра

(34.5)

Найденное значение параметра v определяет критическую нагрузку (см. 17.5).

(35.5)