2. Основная система в методе перемещений. Степень кинематической неопределимости.

Сколько и каких связей нужно наложить на раму, чтобы превратить ее в систему балок с закрепленными и неподвижными концами?

Ответ на этот вопрос связан с понятием степени кинематической неопределимости системы.

Узлы всякой рамы, в том числе плоской, могут быть жесткими или шарнирными. Жестким называют всякий узел плоской рамы, в котором жестко соединяются между собой по крайней мере два стержня. Примеры таких узлов приведены на рис.3.9.

Всякий шарнирный узел может получить под нагрузкой линейное Рис.3.9

перемещение, определяемое двумя проекциями на направления осей выбранной системы координат. Жесткий узел может получить дополнительно угол поворота.

Число, равное сумме всех возможных угловых и линейных перемещений узлов рамы называют ее степенью кинематической неопределимости n.

n = n_у + n_л (4.3)

Здесь n_y – число неизвестных углов поворота жестких узлов, n_л –число неизвестных линейных перемещений узлов рамы.

Число n_y определяется просто. Для этого нужно подсчитать все жесткие узлы рамы.(Опорные заделки в это число не входят).

Несколько сложнее обстоит дело с подсчетом числа возможных линейных перемещений узлов.

Так как перемещениями от продольных усилий в стержнях пренебрегают ( а они действительно очень малы из за большой продольной жесткости !), то линейные перемещения узлов можно определить как степень свободы шарнирной системы, полученной из заданной.

Шарнирной системой называют комбинацию стержней, полученную после введения вол все жесткие узлы рамы полных шарниров.

W = n_л = 3D -2Ш –С₀ (5.3)

Здесь D –число дисков ( стержней), Ш – число простых шарниров, С₀ – число опорных связей.

Можно определить n_л и без формулы (5.3). Для этого нужно “подергать” каждый узел вдоль примыкающего к нему стержня и в поперечном направлении. Нетрудно увидеть, в каком направлении перемещение возможно за счет возникающего при этом изгиба элементов рамы. При этом нужно иметь ввиду, что веденные заделки запрещают только поворот, но не препятствуют линейным перемещениям узлов. Поэтому заделки называют “плавающими”. Подсчитывая число возможных перемещений, определяют n_л .

Зная степень кинематической определимости n,можно построить основную систему по методу перемещений: нужно ввести n_y заделок в жесткие узлы и n_л связей, запрещающих линейные перемещения узлов.

Определим, например, степень кинематической неопределимости рамы, изображенной на рис.3.10а. В раме четыре жестких узла: n_y = 4. На рис.3.10b показана шарнирная система. По формуле 5.3 определяем число ее степеней свободы:

W = n_л =3 .

Следовательно , степень кинематической неопределимости рамы равна

N = 4+2 = 6. 3.10

На рис. 3.10с показана основная система метода перемещений.

3. Эпюры изгибающих моментов и опорные реакции в элементах основной системы метода перемещений.

Для вычисления коэффициентов и грузовых членов канонических равнений метода перемещений нужно, прежде всего, уметь строить эпюры изгибающих моментов в однопролетных статически неопределимых балках (элементах основной системы) от нагрузки и перемещений опор.

Договоримся о правиле знаков

Реакции в вводимых связях принимают положительными, если они совпадают с направлениями перемещений. Удобно считать положительным поворот жесткого узла по часовой стрелке, как это показано, например, на рис.3.5.Тогда и реактивный момент направлен по часовой стрелке (рис.3.6).

В основной системе могут быть два вида статически неопределимых балок: с двумя заделанными концами и одним заделанным, а другим –шарнирно опертым концом.

Рассмотрим, например, балку с одним заделанным, а другим шарнирно опертым концом под равномерно распределенной нагрузкой (рис.3.11а) Эта балка один раз статически неопределима и может быть рассчитана методом сил. Ход расчета проиллюстрирован эпюрами на рис.3.11b – 3.11d и занимает три строчки

;

Окончательная эпюра изгибающих моментов

М = М_Р + М₁ Х₁ п0казана на рис.3.11f. Соответствующая эпюра поперечных сил – на рис.3.11g Рис.3.11

В таблице 1 приведены эпюры моментов и реакции опор в балках с различным опиранием. Другие случаи нагружения можно найти в учебниках.

В таблице введено обозначение для так называемой погонной жесткости стержня

где EI – жесткость стержня на изгиб,

l – длина стержня

Пример расчета простой рамы методом перемещений

Требуется построить эпюры изгибающих моментов М, поперечных сил Q и продольных сил N в раме, показанной на рис. 3.12

В раме один жесткий узел 1, не имеющий линейных перемещений. Поэтому степень кинематической неопределимости равна единице

n = n_y = 1

2. Вводят в узел 1 плавающую заделку: рама превращается в систему стержней с закрепленными концами. Рис.3.12

Основная система показана на рис. 3.13.

Неизвестный угол поворота Z₁ узла 1 определяют из канонического уравнения

r₁₁ Z₁ + R_1P = 0. (6.3)

3. В основной системе по таблицам строят эпюру изгибающих моментов М₁ от поворота заделки в узле 1 на угол Z₁ = 1 (рис.3.14b) и эпюру изгибающих моментов от заданной нагрузки М_Р (рис.3.15) . Рис.3.13

Для построения эпюры М₁ удобно предварительно изобразить картину деформации стержней, возникающую при повороте заделки на угол Z₁ = 1 по часовой стрелке (рис.3.15а)

Эпюры М_Р и М₁ строят со стороны растянутых волокон.

Рис.3.14

Для записи реакций (реактивных моментов) в заделке при повороте нужно предварительно вычислить значения погонных жесткостей для всех стержней.

(7.3)

Все необходимые выкладки можно сделать непосредственно на эпюре М₁ (рис.3.14b).

Для правильного построения эпюры М_Р каждый стержень, на который действует нагрузка , рассматривается отдельно. В ненагруженных стержнях изгиба не возникает.

4. Вычисляют коэффициент r_{11 И} грузовой член R_1P канонического уравнения, рассматривая равновесие узла 1 в эпюрах М_Р и М₁

соответственно. Рис.3.15

Направление реактивных моментов М_Р и М₁ принимаются положительными при совпадении с направлением поворота узла. Если всегда принимать вначале поворот по часовой стрелке, то направления R_1P и r₁₁ в уравнениях равновесия узла также принимают по часовой стрелке.

Вырезая узел 1 в эпюре М₁ и рассматривая его равновесие (рис.3.16), получаем

(8,3)

Вырезая узел 1 в эпюре М_Р и рассматривая его равновесие (рис.3.17), получаем

Рис.3.16

(9,3)

5. Решают уравнение ( 6.3), получают действительное значение поворота узла Z₁

(10.3)

6. Строят окончательную эпюру М = М_Р + М₁ Z₁

Предварительно строят так называемую исправленную Рис.3.17

эпюру М₁ Z₁ , умножая ординаты эпюры М₁ на найденное значение Z_{1 .}

Указание. Если в расчете угол поворота Z₁ получился со знаком минус, то ординаты исправленной эпюры откладывают с противоположной, чем на эпюре М₁ стороне стержней.

Исправленная эпюра показана на рис. 3.18.

Аккуратно, по точкам складывая эпюры М_Р и М₁ Z₁ , получают окончательную эпюру М (рис.3.19) Рис.3.18

Проверка правильности эпюры М в раме, у которой отсутствуют линейные перемещения узлов, проводится просто: должно быть выполнено равновесие в узле 1. Это условие в решаемой задаче выполняется точно (рис.3.20)

(11.3)

Указание: Абсолютная ошибка не должна превышать1%.

Рис.3.19

Рис.3.20

7. Строят эпюру поперечных сил Q.

Предварительно вычисляют поперечные силы на каждом стержне, руководствуясь правилами, изложенными в гл. 1

,

Эпюра Q показана на рис.3.21.

8.Строят эпюру продольных сил N, Рис.3.21

рассматривая равновесие узла 1.(рис.3.22).

Продольной силой называют проекцию всех левых ( или правых ) сил, расположенных по левую ( или правую) сторону от сечения, на направление оси стержня . Поэтому можно заключить, что продольная сила в стержне 1С равна нулю.

Напоминание: при рассмотрении равновесия узла следует помнить, что положительные поперечные силы вращают узел по часовой стрелке .

0.76 – N_A! = 0, N_A1 = 0.76 Рис.3.22

N_1B + 10.35 + 13.1 = 0, N_1B = - 23.45

Эпюра продольных сил показана на рис.3.23

9. Аккуратность вычислений на этапах 7 и 8 проверяют, рассматривая равновесия рамы в целом (рис.3.24)

(12.3)

Рис.3.23

Указание: Абсолютная ошибка не должна превышать1%.

Рис.3.24