Глава 6.

Элементы динамики стержневых систем.

1. Динамические расчеты. Динамические нагрузки.

Динамика сооружений – это раздел строительной механики, в котором изучается поведение сооружения при действии динамических нагрузок. Под действием динамических нагрузок сооружение приходит в движение Ускоренные или замедленные движения масс вызывают инерционные силы, которые действуют на конструкцию так же, как и статические нагрузки. Динамические нагрузки самого разнообразного вида характеризуются величиной, направлением, положением и законом изменения во времени. Динамическое воздействие на конструкцию оказывают, например, работа несбалансированного механизма, движущаяся толпа или экипаж, резкое снятие груза и т.п.

Динамические нагрузки, действующие на сооружение, можно классифицировать следующим образом:

Рис.6.1

1.Периодические нагрузки, не изменяющие положения на сооружении. Такие нагрузки могут быть непрерывными (рис.6.1а) или прерывными (рис.6.1b). Если нагрузка изменяется по закону синуса или косинуса, то она называется вибрационной или гармонической. Такую нагрузку создают механизмы, имеющие несбалансированные вращающиеся части (рис.6.1c)

2. Импульсивные, в частности, ударные нагрузки характерны своей кратковременностью. Такие нагрузки создаются ударной волной взрыва, падением груза на сооружение и т.п. (рис.6.1d).

3. Подвижные нагрузки постоянной величины, меняющие положение на сооружении. К таким нагрузкам может быть отнесен, например, вес транспортных средств, движущихся по мосту (рис.6.1e).

4. Особую группу составляют сейсмические воздействия, вызываемые землетрясениями. Возникает сложное, часто колебательное движение основания под сооружением протекающее по сложному закону во времени.

5. Ветровая нагрузка передается на сооружение в виде порывов ветра различной интенсивности, а также в результате схода вихрей (вихрей Кармана), имеющего периодический характер.

Возможны и комбинированные воздействия динамических нагрузок разной природы.

2.Свободные и вынужденные колебания

Свободными называют колебания конструкции при отсутствии динамической нагрузки, вызванные отклонением (толчком, сбросом нагрузки) от первоначального равновесного состояния.

Вынужденные колебания происходят под воздействием динамической нагрузки.

При колебаниях упругих систем постоянно происходит процесс обмена кинетической и потенциальной энергии.

В реальных сооружениях часть энергии поглощается или рассеивается из за сопротивления внешней среды, внутреннего трения, зависящего от свойств материала, трения в соединениях. Поэтому свободные колебания постепенно затухают. Если силы сопротивления малы, то ими пренебрегают. Тогда свободные колебания называют незатухающими.

Вынужденные колебания также можно рассматривать как с учетом, так и без учета сил сопротивления.

Динамический расчет включает в себя следующие этапы, которые имеют как самостоятельное значение, так и, главным образом, во взаимосвязи.

1. Определение частот и форм свободных колебаний системы. Частоты и формы свободных незатухающих колебаний зависят от жесткостных характеристик конструкции.

2. Определение частот вынужденных колебаний и максимальных динамических усилий при действии динамической нагрузки

3.Методы динамического расчета

Статический метод основан на составлении и решении уравнений динамического равновесия, которые отличаются от статических уравнений, согласно принципу Даламбера, наличием сил инерции .

Энергетический метод основан на применении закона сохранения энергии, согласно которому сумма потенциальной и кинетической энергий является величиной, постоянной в процессе колебаний.

В последующем изложении будет рассмотрен лишь статический метод.

4.О степени свободы в динамике сооружений

Степенью свободы в динамике называют число независимых геометрических параметров, определяющих положение всех масс при любых возможных перемещениях в процессе колебаний, в любой момент времени.

Трудоемкость динамического расчета и его сложность прямо зависит от степени свободы колеблющейся системы.

Рис.6.2

Рассмотрим массу, прикрепленную к невесомой упругой балке (рис.6.2). На плоскости она имеет три степени свободы (n=3): два возможных линейных перемещения ( прогиб и перемещение вдоль балки за счет ее продольных деформация) и угол поворота . Если считать, как это принято в строительной механике, что продольные перемещения из–за большой продольной жесткости балки малы по сравнению с прогибами и ими можно пренебречь, то масса будет обладать двумя степенями свободы. Если сама масса мала (точечная), то можно пренебречь и углом поворота и она будет иметь только одну степень свободы (n=1). Таким образом, степень свободы зависит от выбранных предпосылок расчета и характера масс. Если считать, что балка и рама, изображенные на рис.6.3 “работают” на изгиб, то массы на балке имеют три степени свободы, а масса на раме – две. Любая стержневая конструкция имеет распределенную массу, которую можно представить в виде системы из бесконечно большого числа малых сосредоточенных масс. Поэтому системы с распределенными массами имеют бесконечно большое число степеней свободы.

При динамическом расчете конструкции ее идеализируют, полагая, что ее масса сосредоточена в небольшом числе точек. Таким образом, осуществляется переход от расчета системы с бесконечным числом степеней свободы к системе с конечным числом степеней свободы. Естественно, что такой расчет является приближенным, и его точность во многом зависит от искусства и опытности расчетчика.

5. Свободные колебание системы с одной степенью свободы.

Рассмотрим свободные колебания системы с одной степенью свободы на примере массы , прикрепленной к концу упругой невесомой консоли. На рис.6.4 горизонтальное положение консоли соответствует начальному равновесному состоянию системы.

Рис.6.4

Если каким- либо образом отклонить массу на конце консоли от равновесного состояния и устранить причину, вызвавшую отклонение, то масса начнет колебаться, отклоняясь от положения равновесия на y. Такие колебания называюn свободным или собственными. Предположим, что силы внешнего и внутреннего сопротивления колебаниям отсутствуют. Тогда на колеблющуюся массу действуют всего две силы: восстанавливающая сила , обусловленная упругостью балки, и сила инерции

( 1.6 )

Назовем жесткостью системы силу, способную сообщить массе m перемещение, равное единице. Реакция со стороны балки на массу будет, естественно, равна этой силе, которую обозначим r. Введем обычное обозначение для перемещения от единичной силы по направлении r. Тогда по определению жесткости получим , или а выражение для восстанавливающей силы будет иметь вид

( 2.6 )

Обе силы, и , действуют в направлении, противоположном перемещению массы при колебании.

На основании принципа Даламбера запишем уравнение равновесия :

или

ÿ + ry = 0 ( 3.6 )

Далее производные по времени t будем обозначать точками сверху.

Введем обозначение

( 4.6 )

Тогда уравнение ( 3.6 ) можно переписать в виде

ÿ + ( 5.6 )

Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка и есть уравнение свободных колебаний одномассовой системы. Его решение имеет следующий вид

y = C₁ ( 6.6)

где С₁ и С₂ – произвольные постоянные интегрирования, которые можно определить из начальных условий.

Если в начальный момент времени, при t = 0 отклонение от равновесной формы равнялось y₀ , а начальная скорость этого отклонения – y^’ - равнялась v₀ , то

С₂ = y_{0 ,} С₁ и, следовательно,

( 7.6 )

Свободные колебания могут быть описаны и другим выражением, если в ( 6.6 ) вместо С₁ и С₂ ввести новые постоянные а и по формулам С₁ =А , С₂ =В

y = a , ( 8.6 )

где а = – амплитуда свободных незатухающих колебаний,

Рис.6.5

начальная фаза колебаний, определяющая отклонение массы в начальный момент времени :y₀ = (рис.6.5)

Т – период колебаний, время, за которое масса совершает полный цикл. Период измеряется в секундах. Период Т легко определить из условия, что при возрастании времени на Т величина y не меняется:

.

Это возможно при выполнении равенства , то есть

( 9.6 )

Величина n обратная периоду определяет число колебаний в секунду

( 10.6 )

Теперь нетрудно понять физический смысл .

Если n –число колебаний в секунду, то - число колебаний в секунд.

Поэтому называют круговой или циклической частотой свободных колебаний.

Еще раз внимательно посмотрим, от чего она зависит? Вводя в формулу ( 4.6 ) ускорение свободного падения g ,после преобразований получаем

( 11.6 )

Из формул ( 11.6 ) следует, что круговая частота колебаний увеличивается с увеличением жесткости системы и уменьшается с увеличением массы (веса F = mg) и, соответственно, с увеличением статического перемещения y_стат массы под действием собственного веса F.

Форма свободных колебаний, описываемая уравнением ( 8.6 ), также, как и частота колебаний не зависят от граничных условий и определяются лишь массой и жесткостью конструкции и поэтому являются ее важной и объективной характеристикой. Свободные колебания системы называют собственными.

Пример.

Определить частоту собственных колебаний железобетонной балки, показанной на рис.6.6а и смоделированной для динамического расчета в виде одномассовой системы(рис.6.6b).

E = 2.7 I = g = 9,8 м/с² .

Изгибная жесткость балки EI равна

Рис.6.6

EI = 2.7

Принимая удельный вес бетона на 2500 кг/м ³ , вычисляем массу балки

m = 2500 кг

Вес балки Q 16 кН.

Прогиб балки определим по формуле, взятой из справочника, которую легко получить, взяв интеграл Мора по способу Верещагина.

,

6.Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы при действии вибрационной нагрузки .

Рассмотрим одномассовую систему , показанную на рис.6.4, на которую действует вибрационная нагрузка где F₀ - амплитудное значение возмущающей силы, круговая частота возмущающей силы. Все силы, действующие в этом случае на массу m, показаны на рис. 6.7.

Рис.6.7

На основе принципа Даламбера уравнение равновесия в процессе колебания выглядит так

( 12.6) )

Подставляя выражения F_J и F_r в форме (1.6) и (2.6), вводя обозначение (4.5) получаем уравнение

ÿ ( 13.6 )

Решение этого уравнения состоит из двух частей y =y⁰ + y^ч , где y⁰ - решение однородного уравнения ( уравнения ( 13.6 ) с нулевой правой частью) , y^ч – частное решение уравнения ( 13.6 ).

Решение однородного уравнения получено ранее и выражено формулой (6.6 ). Частное решение может быть найдено путем вариации произвольных постоянных или подбором.

( 14.6 )

Зададим частное решение в виде

( 15.6 )

Подставим выражение (15.6) в уравнение (13.6) и найдем, при каком значении А оно удовлетворяется.

,

. ( 16.6)

Из выражении (4.6) следует, что . Подставляя это выражение в

( 16.6 ), получаем

А = , ( 17.6 )

где - статическое перемещение массы от силы, равной амплитудному значению возмущающей силы F₀ ,

(18.6)

- динамический коэффициент, показывающий во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний больше статического перемещения, вызванного амплитудным значением F₀ .

Итак, частное решение уравнения ( 13.6) имеет вид

, ( 19.6 )

а общее решение уравнения ( 14.6) записывается в форме

( 20.6 )

Первые два члена этого выражения описывают свободные колебания массы m и зависят, как это было показано ранее, от начальных условий.

В реальных конструкциях сопротивление внешней среды, внутреннее трение , которыми мы пренебрегали при рассмотрении задач, приводят к быстрому затуханию свободных колебаний. Поэтому движение при вынужденных колебаниях, протекающее при постоянной подпитке энергией внешней динамической нагрузки, описывается уравнением ( 19.6).

В рассмотренной простейшей модели вынужденных колебаний одномассовой системы при совпадении частоты вынужденных колебаний с частотой собственных колебаний динамический коэффициент становится равным бесконечности и происходит резонанс: амплитуда колебаний y теоретически увеличивается до бесконечности. Если учитывать силы сопротивления, то амплитуда вынужденных колебаний не достигает бесконечной величины, но всегда настолько опасно велика.

Проверка на резонанс, конструктивные мероприятия по предотвращению возможного резонанса представляют собой важную и интересную задачу динамического расчета.

7. Свободные колебания систем с несколькими степенями свободы

Простой иллюстрацией может служить упругая невесомая балка с n сосредоточенными массами (рис. 6.8) Если пренебречь горизонтальными перемещениями масс и их вращательными перемещениями, то степень свободы такой системы равна числу масс. Движение каждой из масс в процессе свободных колебаний описывается уравнением (8.6) то есть

Рис.6.8

( 21.6 )

К каждой массе m_i приложена сила инерции

( 22.6)

Перемещение любой массы m_i , прикрепленной к упругой балке, зависит от всех сил инерции, действующих на систему в процессе колебаний

. . . + . . . + (23.6 )

Здесь - перемещения по направлению движения массы m_i от единичной силы = 1, приложенной в месте прикрепления массы m_{j .}Эти перемещения вычисляются обычным способом с использованием, например, правила Верещагина. Эти коэффициенты и характеризуют жесткость балки, к которой прикреплены колеблющиеся массы.

Подставляя в ( 23.6 ) выражения для сил инерции ( 22.6 ), получаем

. . . + . . . + ( 24.6 )

Записанные для каждой массы такие уравнения образуют систему. Число уравнений равно числу степеней свободы ( в рассматриваемом случае – числу сосредоточенных масс)

Если в уравнения этой системы подставить выражения ( 21.6 ),разделить все члены полученного уравнений на и провести элементарные алгебраические преобразования, то получим алгебраическую систему однородных уравнений относительно амплитудных значений колебаний масс а_i :

. . . + ,

. . . + ( 25.6 )

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . +

Система уравнений (25.6) имеет нетривиальное решение , если определитель, составленный из коэффициентов при амплитудах, равен нулю.

= 0 ( 26.6 )

Раскрыв определитель, можно получить уравнение n –ого порядка относительно . Это уравнение, называемое вековым уравнение, позволяет найти n положительных значений собственных частот .Совокупность всех частот системы составляет спектр частот. Каждой частоте соответствует “своя” форма колебаний.

Рис.6.9

Например, спектр частот поперечных колебаний балки, показанной на рис.6.9, составляют три собственных частоты. Каждой из этих частот соответствует своя форма колебаний.

С инженерной точки зрения наибольший интерес представляют низшие частоты : на низших частотах динамический эффект ( наибольшие амплитуды, наибольшие динамические добавки к напряжениям) проявляется особенно сильно

Пример.

Требуется определить частоты собственных колебаний упругой невесомой балки с двумя равными сосредоточенными массами (рис.6.10).

Вычисляют перемещения от единичных сил, приложенных по направлению колебаний масс, используя способ Верещагина.

Рис.6.10

Составляем определитель частот и приравниваем его нулю

(27.6) Раскрыв определитель, получим вековое уравнение

( 28.6 )

Подставив в уравнение (28.6) выражения для перемещений, получим

(29.6)

Удобно переписать это уравнение в виде

Решая уравнение, находим

(30.6)

Вопросы для самоконтроля

1.Какие нагрузки называют динамическими?

2.Какие колебания называют свободными или собственными и почему?

3.Когда возникают вынужденные колебания.

4.Какие этапы включает динамический расчет сооружений?

5.Какие деформации сооружения учитывают при определении степени свободы в динамике?

6.Как выбрать модель для динамического расчета стержневой системы?

7.Какой принцип положен в основу динамического расчета статическим способом?

8.Каковы основные характеристики свободных колебаний?

9.Как зависит частота свободных колебания от величины колеблющейся массы и от жесткости системы?

10.Чему равна частота вынужденных колебаний реальной конструкции?

11.Что такое динамический коэффициент?

12.В чем состоит проверка на резонанс?

13.Как определить спектр частот свободных колебаний многомассовой системы?

14.Каков спектр частот свободных колебаний в системах с распределенной массой?