3.Уравнения равновесия. Статическая матрица

Установим связь между узловыми нагрузками Р_i и моментами М_i от этой нагрузки

Предположим вначале, что моменты во всех сечениях положительны, то есть вращают стержни по часовой стрелке. Изобразим на схеме рамы возможные моменты от узловой нагрузки, ориентируясь на рис.4.6, построим диаграмму положительных моментов (рис.4.7).

Узловые нагрузки должны находиться в равновесии с возникающими от них усилиями.

Рассмотрим равновесие узла В так, как это делали при определении грузовых членов канонических уравнений классического метода перемещений (рис.4.8 а).

Из условия равновесия узла, получаем Рис.4.7

Рис.4.8

Р₁ = М₂ + М₃ + М₄.

Из уравнения равновесия вырезанного ригеля (рис.4.8 б) , получаем

Р₂ =

( Отрицательная поперечная сила вращает узел против часовой стрелки !)

Зависимость Р от М можно представить в матричной форме:

	М1	М2	М3	М4	М5
Р1	0	1	1	1	0
Р2				0

А= (6.4)

Эта матрица А называется статической. Зависимость Р от М_i теперь можно записать в краткой матричной форме

Р = А М_i (7.4)

4.Геометрическая сторона задачи.

На этом этапе устанавливаются соотношения между деформациями элементов и перемещениями узлов Z. В рассматриваемых схемах, работающих на изгиб , под деформациями понимают углы поворотов каждого из рассматриваемых сечений ( в примере это 1 – 5) от всех возможных перемещений узлов ( в примере Z₁ и Z₂).

В матричной форме эти соотношения могут быть записаны так

= ВZ. ( 8.4 )

Здесь В – матрица деформаций. Каждая строка этой матрицы представляет собой коэффициенты, на которые нужно умножить возможные перемещения узлов Z , чтобы получить деформации .

Для вычисления этих деформаций нужно провести большую “техническую” работу, рассматривая геометрию всех возможных перемещений и поворотов узлов. В практических расчетах матрицу В получают другим путем.

Все линейно-деформируемые системы обладают замечательным свойством двойственности статических и геометрических уравнений, которое состоит в том, что матрица В оказывается равной транспонированной статической матрице А ( или наоборот)

В = А^Т, (или А = В^Т). ( 9.4 )

Это свойство вытекает из общего принципа возможных перемещений.

Напомню этот основополагающий принцип:

Работа всех внешних и внутренних сил системы, находящейся в равновесии, на любых возможных перемещениях равна нулю.

В рассматриваемых задачах работы сил Р_i на возможных перемещениях Z и моментов М_i на возможных углах поворота могут быть записаны так

V_P =P^T , V_M =

На основе принципа возможных перемещений

V_P + V_M = 0

Это равенство возможно, если выполняется условие

B = A^T .

Матрицу А получить достаточно просто. Поэтому В получают транспонированием матрицы А.: первая строка матрицы А становится первым столбцом матрицы В, вторая строка – вторым столбцом и т. д.

В рассматриваемом примере

В = А^Т = ( 10.4 )

А^Т Z (1.4 )