II. Метод конечных элементов (мкэ).

Название метода отражает его сущность. Рассчитываемая система ( это может быть, вообще говоря, любая стержневая или пространственная конструкция) разбивается на отдельные элементы, соединенные в конечном числе точек, узлов, к которым приложены внешние силы.

Одним из самых распространенных машинных методов расчета является метод конечных элементов, использующий идеи метода перемещений, который в матричной форме изложен в разделе I этой главы.

Для расчета произвольной ( плоской или пространственной, статически определимой или статически неопределимой) стержневой конструкции на воздействия различного рода, для определения формы и частот собственных колебаний и расчета на устойчивость на кафедре строительной механики МГСУ разработана программа для ЭВМ “Радиус”. Дальнейшее изложение темы ориентировано на эту программу.

1.Основные положения. Порядок расчета.

В МКЭ как и МПП неизвестными служат угловые и линейные перемещения узлов Z_i.

При изучении матричного метода перемещений мы научились приводить действующую на каждый элемент нагрузку к узловой, вручную составлять матрицы А, А^Т и К и оперировать с ними. Эта работа трудоемкая и требует большого внимания .

При выполнении матричных выкладок может сложиться впечатление, что расчет методом перемещений без применения матриц проводить проще, чем с матрицами. И это действительно так, если рассчитываемая схема проста и в ней немного элементов..

Нельзя ли поручить все выкладки машине?

ЭВМ легко и быстро решают систему алгебраических уравнений, к которой сводится в ММП решение каждой задачи:

KZ = P (31.4)

Отличие МКЭ состоит в том, что матрица внешней жесткости К вычисляется не по формуле К=АкА^Т , а путем суммирования матриц жесткости отдельных элементов К_Э , т.е.

К = К_Э , (32.4)

где n – число элементов, а К_Э = (АкА^Т)_Э

Матрицы жесткости типовых элементов К_Э можно сформировать заранее и ввести в машину программу для их построения, сообщая необходимые данные (длину, жесткость на изгиб).

Матрицы А и А_Т для типовых элементов ЭВМ формирует самостоятельно и быстро, если в нее введены координаты узлов и характер закрепления элементов в этих узлах

Рис.4.10

На плоскости можно указать три типовых элемента: а)

- шарнирно-стержневой (элемент фермы) (рис.10.а)

- балочный защемленный (рис.10.б) б)

- балочный комбинированный (рис.10.в).

Любую, самую сложную стержневую конструкцию можно представить как совокупность этих элементов. в)

Таким образом, расчет плоской стержневой системы на ЭВМ сводится к следующим действиям:

1. Вводят координаты узлов. В предлагаемой программе узлы можно просто нарисовать на координатной сетке, которая появляется на экране монитора.

2. Рисуют на экране элементы (стержни) рассчитываемой системы, задавая их жесткости.

3. По определенным правилам вводят нагрузку.

Далее работает ЭВМ

1. По введенным координатам узлов вычисляет длины всех элементов и тригонометрические функции углов наклона, если имеются наклонные стержни.

2. По стандартному алгоритму вычисляет для каждого элемента матрица усилий (кА^Т)_Э и формирует матрицы жесткости всех элементов

К_Э = (АкА^Т)_Э ( 33.4 )

Эти матрицы записываются на жесткий диск

3. Составляет матрицу внешней жесткости всей конструкции

К = К_Э ( 35.4 )

4. Решает систему уравнений

KZ = P ( 36.4 )

5. Вычисляет усилия во всех элементах от узловой нагрузки

S_Э = (кА^Т)Z ( 37.4 )

Изложенный на стр. ММП применен к расчету рам на поперечную нагрузку. В результате расчета получали изгибающие моменты М_ок в расчетных сечениях. С таким же успехом ММП может быть применен к расчету ферм. В связи с тем, что как при расчете рам, так и при расчете ферм порядок действий одинаков, то здесь и далее вводится обобщенное обозначение расчетных усилий от узловой нагрузки S_Э. При расчете рам S_Э – изгибающие моменты, а при расчете ферм – продольные усилия в ее стержнях.

6. Определяют окончательные значения расчетных усилий, прибавляя к значениям S_Э усилия от внеузловой нагрузки. Так как фермы рассчитывают на узловую нагрузку значения усилий, полученные в результате действий по формуле (37.4 ), являются окончательными.

7. По команде расчетчика ЭВМ выдает на экран монитора эпюры М, Q и N, (если рассчитывают раму) или изображение фермы с нанесенными на нее значениями расчетных усилий (если рассчитывают ферму). Все результаты расчета могут быть распечатаны на принтере.

Вопросы для самоконтроля

1.Как выбирается основная систем при расчете матричным методом перемещений (ММП)?

2.Из каких двух напряженных состояний складывается окончательной наряженной состояние заданной стержневой системы?

3.Как построить эпюры изгибающих моментов в основной системе от заданной нагрузки?

4.Как преобразовать заданную нагрузку к узловой?

5.Как сформировать вектор узловой нагрузки?

6.Что представляет собой диаграмма положительных моментов?

7.Что представляет собой статическая матрица А? Связь между какими величинами она устанавливает?

8.Как определяются элементы статической матрицы?

9.Что связывает между собой матрица В при расчете рам?

10.Как связаны между собой статическая матрица и матрица деформаций?

11.На основе какого физического закона устанавливается связь между моментами в расчетных сечениях с деформациями в них?

12.Какой вид имеет матрица жесткости для стержня с одним защемленным и другим шарнирно опертым концом?

13. Какой вид имеет матрица жесткости для стержня с обоими защемленным концами?

14.Как записывается матрица внутренней жесткости для всей системы к?

15.Каков физический смысл матрицы внешней жесткости К?

16.Каким способом удобно решать матричное уравнение Р = КZ ?

17.Из какой матричной зависимости находят значения изгибающих моментов в расчетных сечениях от узловой нагрузки?

18.Как определяются окончательные значения изгибающих моментов в расчетных сечениях от заданной нагрузки?