Глава 4

I. Матричный метод перемещений (ммп).

1. Расчетная схема. Основная система.

Рис.4.1

Рис.4.2

Рис.4.3

Пусть, например, нужно рассчитать раму, показанную на рис.1.1 Эта рама три раза статически неопределима ( имеет три лишних связи) и два раза кинематически неопределима ( один жесткий узел В и одно возможное перемещение вдоль ригеля).

Основная система метода перемещений для этой рамы показана на рис.4.2: рама превращена в систему отдельных стержней с закрепленными, неподвижными краями.

За неизвестные приняты угол поворота узла Z₁ и горизонтальное перемещение вдоль ригеля Z₂. Положительные направления этих перемещений для упрощения дальнейших расчетов целесообразно выбирать так:1)угловые перемещения направлять по ходу часовой стрелки;2) линейные горизонтальные перемещения узлов – вправо, а линейные вертикальные перемещения - вверх.(рис.2)

Напряженное состояние рамы, работающей на поперечную нагрузку, определяют как сумму двух напряженных состояний, полученных из двух расчетов:

1) В основной системе (рис.4.2) строят по таблицам эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки - грузовую эпюру М_Р. Это напряженное состояние – самоуравновешенное: заданная нагрузка находится в равновесии с реакциями, возникающими в введенных связях.

2) Рассчитывают заданную раму (без введенных связей!) на узловую нагрузку, эквивалентную внешней заданной (рис.4.3). Находят изгибающие моменты в расчетных сечениях М_i . За расчетные принимают сечения на концах стержней, примыкающим к жестким заделкам и жестким узлам. Цифры на рис.4.3 указывают на сечения, в которых находят эти моменты М₁ – М₅. В этих сечениях определяют и деформации поворота ₁ – ₅.

Окончательная эпюра моментов М_ок получается суммированием:

М_ок = М_Р +М_{i (} 1.4 )

Всякая неузловая нагрузка ( в рассматриваемом примере q и Р₁) приводится вначале к эквивалентной узловой. Положительные значения узловой нагрузки принимают совпадающим с выбранным направлением искомых перемещений узлов (рис.4.3)

2. Приведение заданной нагрузки к узловой.

Рис.4.4

Для получения узловой нагрузки по таблицам строят грузовую эпюру изгибающих моментов в основной системе метода перемещений. Как это принято у строителей эпюру строят со стороны растянутых волокон (рис.4.4).При выполнении этого условия легко определить реальное воздействие на узлы и введенные связи заданной внеузловой нагрузки. Сила Р₁ и, соответственно, момент М_Р4 вращает узел 2 по часовой стрелке, а нагрузка q и момент М_Р2–против часовой Учитывая, что в узле В действует и заданный момент, равный 8 кНм, суммарный узловой момент будет равен

Р₁ = 11,25 – 2.66 -8 =0,583 кНм ( 2.4 )

Узловую нагрузку Р₂ получают, прибавляя к заданной горизонтальной силе Р₂ , давление от распределенной нагрузки на левой стойке, равной qh/2.= 4 кН. (Это активное давление равно опорной реакции в стержне А – В от заданной нагрузки q с обратным знаком).

Р₂ = 4 + 2 = 6 кН. ( 3.4 )

Еще раз напоминаем, что положительные направления узловых усилий совпадают с выбранным направлением перемещений узлов (рис.4.2)

Сформируем вектор внешних сил

Р = [0,583, 6]^Т ( 4.4 )

(Для экономии места вектор записан в виде строки с символом “T” вверху, который означает операцию транспонирования).Приведенная узловая нагрузка в рассматриваемой задаче показана на рис.4.5

Сформируем и вектор грузовой эпюры моментов М_Р в основной системе . Условимся считать положительными моменты, вращающие стержень по часовой стрелке.(рис.4.6). Очевидно, что в этом случае возникает отрицательная поперечная сила

Q= - (М_i+М_j)/l Рис.4.5

Рис.4.6

Сравнивая положение моментов в рассматриваемых точках относительно стержней на рис.4.4 с рис.4.6, можно заключить, что момент на конце левой стойки М_Р1 - отрицательный (растягивает левые волокна.), М_Р2 - положительный и т д.

Итак, вектор грузовой эпюры моментов равен

M_P = [ -2,66 2,66 0 -11,25 0 ]^Т . ( 5.4 )