Глава 3

Расчет статически неопределимых рам методом перемещений.

1.Идея метода перемещений.

Принципиальная схожесть метода сил и метода перемещений состоит в том, что в обоих случаях выбирается основная система и в процессе устранений противоречий между основной системой и рамой, которую нужно рассчитать, решают задачу о нахождении расчетных усилий М, Q и N.

Основная система в методе перемещений принципиально отличается от основной системы метода сил. Если в методе сил основной системой была статически определимая , геометрически неизменяемая система, полученная из заданной путем отбрасывания лишних связей, то в методе перемещений поступают наоборот.

Основной системой метода перемещений называют совокупность балок с закрепленными и несмещаемыми концами, полученную из заданной системы путем введения дополнительных связей.

Таким образом, основная система становится еще более сложной с точки зрения метода сил, так как степень статической неопределимости ее возрастает. Однако эта система состоит из однопролетных статически неопределимых балок, которые хорошо изучены.Для построения эпюр моментов и поперечных сил в таких балках от всевозможных воздействий (нагрузки, перемещения и поворота краевых сечений, температуры) созданы таблицы, позволяющие легко выполнить эту работу..

Если в методе сил основными неизвестными были реакции ( усилия ) в отброшенных связях, то в методе перемещений за неизвестные принимаются угловые и линейные перемещения узлов.

Как и при расчете рам методом сил принимаются следующие гипотезы:

1. деформациями стержней от растяжения – сжатия и сдвига пренебрегают по сравнению с изгибными деформациями. Это означает, что перемещения узлов происходят только за счет изгиба стержней;

2. 

   пренебрегают сближением концов стержня при изгибе из-за малости перемещений (прогибов).

Идею метода перемещений поясним на простом примере

Предлагается рассчитать раму, показанную на рис. 3.1

Эта рама четыре раза статически неопределима. Рис.3.1

Рассчитывая ее методом сил, четыре усилия в отброшенных связях (на рис.3.2 показан один из вариантов основной системы)) определяют из системы четырех канонических уравнений

Выберем основную систему для расчета методом перемещений. Введем в узел 1 заделку, запрещающую

Рис.3.2

поворот этого узла (рис.3.3). Таким образом рама превращается в систему, состоящую из трех балок с закрепленными и неподвижными концами (Узел 1 не имеет линейных перемещений: им препятствуют опоры А и С).

Под действием нагрузки балка с защемленными краями А1 изгибается. Работа отдельных статически неопределимых балок хорошо изучена, составлены таблицы для построения эпюр от любых воздействий. Построим по таблицам грузовую эпюру М_Р в Рис.3.3

основной системе от заданной нагрузки (рис.3.4). В заделке возникает реактивный момент R_1P , который легко определяется из равновесия узла 1: R_1P = m_P.

Отметим противоречия между “выдуманной” основной системой и заданной.

1) Деформационное противоречие. В заданной системе узел 1 под нагрузкой может повернуться на некоторый угол Z₁.На рис.3.3 он показан стрелкой. В основной системе узел закреплен от поворота..

2) Силовое противоречие. Во введенной заделке реакция возникает от нагрузки и от изгиба, связанного с неизвестным поворотом узла 1, возникает реакция (реактивный момент) В рассчитываемой раме заделки в узле 1 нет. Поэтому и реактивного момента в узле нет.

Устраним оба эти противоречия.

1.: Повернем узел 1 на некоторый неизвестный угол Z₁ , то есть

Рис.3.3 Рис.3 Рис. 3.4

Рис.3.5 Рис.3.6

устраним деформационное противоречие. При этом примыкающие к узлу стержни изогнутся (рис.3.5). Так как угол Z₁ неизвестен, полагают его равным единице. Эпюры изгибающих моментов от любых единичных поворотов и единичных перемещений концов стержня строят по таблицам. В рассматриваем случае, единичная эпюра моментов М₁ имеет вид, показанный на рис. 3.6

2. Устраним силовое противоречие.

От заданной нагрузки в заделке узла 1 возникает реактивный момент R_1P = m_{Р .} (Рис.3.7) Реактивный момент в заделке от поворота ее на угол Z =1 определяется из равновесия узла 1 : r₁₁ = m₁ + m₂ + m₃ .(Рис.3.8) Если поворот не единичный, а Z₁ , то реакция в заделке будет равна r₁₁Z₁ .

Рис.3.7 Рис.3.8

Убрав заделку, приравняем нулю реакцию (реактивный момент) в узле 1, возникающую в основной системе от заданной нагрузки и поворота на неизвестный угол Z₁ .

(1.3)

Уравнение (1.3) – каноническое уравнение метода перемещений для системы с одной неизвестной.

Решая уравнение (1.3), находят неизвестный угол поворота Z₁

(2.3)

Найденный действительный угол поворота узла 1 полученный в результате снятия противоречий между основной системой и заданной рамой, позволяет построить окончательную эпюру моментов, сложив грузовую эпюру М_Р с исправленной эпюрой М₁ Z₁

М = М_Р + М₁ Z₁ (3.3)

По эпюре М, используя правило Журавского, строят эпюру поперечных сил Q. Рассматривая равновесия узлов рамы, вычисляют продольные силы N и строят соответствующую эпюру.

Итак, для расчета рамы методом перемещений нужно:

1. уметь правильно выбирать основную систему и назначать неизвестные перемещения;

2. уметь строить эпюры изгибающих моментов и находить опорные реакции в балках с полностью или частично заделанными концами при различных силовых и кинематических воздействиях.