Приложение 1

Элементарные сведения о матрицах, необходимые для решения задач строительной механики

При решении задач строительной механики нередко приходится обращаться к операциям над матрицами

Матрицей А называют систему элементов a_ij , расположенных в определенном порядке и образующих таблицу, которая состоит из m строк и n столбцов.

Матрицу А записывают в виде

А = m

n

Здесь a_ij - элемент матрицы, где первый индекс означает номер строки, второй – столбца.

Заметим, что матрицу не следует путать с определителем. Матрица – это все лишь таблица.

В зависимости от количества строк и столбцов различают несколько видов матриц. Рассмотрим некоторые из них.

1. Матрица – столбец ( n =1)

a =

2. Матрица – строка (m = 1)

b =

Для компактности матрицу – столбец можно записать в строчку. Такая операция называется транспонированием.

a^T =

Матрица- строка а^Т - это транспонированная матрица – столбец а. Значок Т означает операцию транспонирования..

Пример.

На рисунке изображена некоторая эпюра изгибающих моментов в раме. В виде матрицы- столбца можно записать значения моментов в жестких узлах этой схемы. Расчетные сечения показаны на рисунке.

M = или М^Т =

2. Прямоугольная матрица, содержащая m строк и n столбцов.

Пример.

Матрица размером 4 х 6 имеет вид

А =

3. В квадратной матрице число строк равно числу столбцов.

А =

В этом случае говорят, что “матрица имеет порядок равный m”.

В строительной механике часто встречаются матрицы, элементы который симметричны относительно диагонали, образованной элементами с одинаковыми индексами.

Пример

Коэффициенты системы канонических уравнений метода сил в задаче с тремя неизвестными могут быть записаны в матричной форме так:

На основе теоремы о взаимности перемещений . Поэтому приведенная матрица симметрична относительно диагонали.

Транспонирование матриц.

Если в матрице А поменять местами столбцы на строки ( первую строку сделать

первым столбцом, вторую строку – вторым и т.д.), то получают матрицу А^Т , которая называется транспонированной по отношению к матрице А.

Пример.

А = , А^Т =

Над матрицами, как и над числами по определенным правилам можно проводить различные алгебраические действия. Познакомимся только с некоторыми из них, которые нужны для решения учебных задач по строительной механике.

Сложение матриц.

Суммой матриц А и В называют такую матрицу С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.

Складывать можно лишь матрицы, имеющиеся одинаковое количество строк и одинаковое число столбцов.

Пример. Сложение двух столбцов

Пример. Сложение двух прямоугольных матриц

Умножение матрицы на постоянное число.

Это действие сводится к умножению всех элементов матрицы на это число.

Пример

Умножение матрицы строки на матрицу столбец

Результат этого умножения – число, полученное сложением произведений первого элемента строки на первый элемент столбца, второго – на второй и т.д.,

Пример

Умножение прямоугольных матриц.

Произведение матриц получается перемножением строк матрицы А на столбцы матрицы В.

Пусть даны две квадратные матрицы

А = и В = .

Произведением матриц А и В будет матрица

АВ = .

В результате умножения двух квадратных матриц получается матрица того же порядка, что и перемножаемые.

Матрицы А и В могут быть и не квадратными. Важно лишь, чтобы число столбцов матрицы А n₁ равнялось числу строк матрицы В m₂.

Произведение матрицы А, размером m₁ x n_1, на матрицу В, размером m₂ x n₂ , равно матрице С, размером m₁ x n₂ .

Пример.

Пример

А[(m₁ =4)x (n₁ =4)], B[(m₂ = 4)x (n₂ =2)]

Результат умножения – матрица, размером (m=4)x(n=2).

Пример

Число столбцов в одной матрице должно быть равно числу строк в другой.

Упражнения.

1.Сложить матрицы А и В

А = , B =

2. Умножить матрицу А на матрицу В

а) А = В =

б) А = В =

в) А = В =

Приложение 2

Значение функций метода перемещений для сжато- изогнутых стержней

Оглавление

Глава 1 Расчет статически неопределимых систем

Степень статической неопределимости.

Основные свойства статически неопределимых систем

Метод сил

Пример расчета простой рамы с одной неизвестной

Порядок расчета рам методом сил с несколькими неизвестными

Пример расчета рамы с двумя неизвестными

Вопросы для самоконтроля

Глава 2 Применение метода сил расчету статически неопределимых многопролетных балок, арок и ферм

Расчет неразрезных балок

Пример расчета двухпролетной балки

Вопросы для самоконтроля

Расчет двухшарнирной арки

Вопросы для самоконтроля

Расчет статически неопределимых ферм

Вопросы для самоконтроля

Глава 3 Расчет статически неопределимых рам методом перемещений

Идея метода перемещений

Основная система в методе перемещений. Степень кинематической неопределимости

Эпюры изгибающих моментов и опорные реакции в элементах основной системы метода перемещений

Пример расчета простой рамы

Расчет многократно кинематически неопределимых рам методом перемещений.

Пример

Вопросы для самоконтроля

Глава 4 Матричный метод перемещений (ММП).

Расчетная схема. Основная система

Приведение заданной нагрузки к узловой

Уравнения равновесия. Статическая матрица

Геометрическая сторона задачи

Физическая сторона задачи. Матрица жесткости системы

Порядок расчета рамы матричным методом перемещений

Метод конечных элементов ( МКЭ )

Основные положения. Порядок расчета

Вопросы для самоконтроля

Глава 5 Основы расчета стержневых систем на устойчивость

Понятие о потере устойчивости, критической нагрузке и методах расчета на устойчивость

Устойчивость плоских рам

Расчет рам на устойчивость методом перемещений

Пример

Решение задачи устойчивости методом конечного элемента по программе “Радиус

Вопросы для самоконтроля

Глава 6 Элементы динамики стержневых систем

Динамические расчеты. Динамические нагрузки

Свободные и вынужденные колебания

Методы динамического расчета

О степени свободы в динамике сооружений

Свободные колебания системы с одной степенью свободы

Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы при действии вибрационной нагрузки

Свободные колебания систем с несколькими степенями свободы

Пример

Вопросы для самоконтроля

Приложение 1 Элементарные сведения о матрицах, необходимые для решения задач строительной механики

Приложение 2 Значение функций метода перемещений для сжато-изогнутых стержней