2.Основные свойства статически неопределимых систем

Статически неопределимые системы имеют характерные особенности, знание которых необходимы при расчетах и правильном проектировании.

1.В статически неопределимых системах напряженное состояние может возникнуть без внешней нагрузки от температурных воздействий, осадки опор неточностей сборки, чего никогда не бывает в статически определимых системах.

2.Усилия и перемещения в статически неопределимых системах зависят от размеров и формы сечений, упругости материала, то есть от соотношения жесткостей элементов. Изменение жесткости хотя бы одного элемента приводит к перераспределению усилий во всей системе. Соотношения жесткостей элементов должны быть заданы до начала расчета (!), то есть каждый расчет является поверочным.

3.Статически неопределимые системы являются более жесткими по сравнению с соответствующими статически определимыми системами.

4. При одной и той же нагрузке усилия в элементах статически неопределимой системы обычно меньше, чем в соответствующей статически определимой.

5.Статически неопределимая система более надежна (более “живуча”), так как удаление одной или всех лишних связей не приводит к ее немедленному разрушению.

3. Методы расчета статически неопределимых систем

Методы расчета различают прежде всего по характеру основных неизвестных, по которым определяются все усилия и перемещения системы.

Если в качестве основных неизвестных принимаются усилия в лишних связях, то метод расчета называют методом сил.

Если за основные неизвестные принимают угловые и линейные перемещения узлов системы, знание которых достаточно для определения всех усилий и перемещений в каждом сечении, то метод называют методом перемещений.

Если за основные неизвестные принимают частично усилия в отброшенных связях и частично перемещения узлов, то метод называется смешанным.

4.Метод сил.

Идею метода сил поясним на примере.

Пусть требуется рассчитать раму, показанную на рис.1.5.а

Рассчитать раму при помощи одних лишь уравнений равновесия невозможно: рама имеет лишние опорные связи. Действительно, заделка на опоре А эквивалентна трем связям, неподвижная шарнирная опора В – двум. Таким образом, чтобы превратить заданную раму в статически определимую систему, нужно отбросить две опорные связи. Проще всего это можно сделать, отбросив, например, оба опорных стержня на опоре В.(Рис.1.5.b).Это означает, что степень статической неопределимости рамы равна двум.

Статически определимая, геометрически неизменяемая система, полученная из заданной путем отбрасывания лишних связей, называется основной системой метода сил.

Статически определимая система на рис. 1.5b и есть основная система метода сил для рамы на рис.1.5.а.

Если сравнивать обе эти схемы, то можно установить между ними два “противоречия”: статическое и кинематическое.

В заданной раме на опоре В от нагрузки должны возникнуть опорные реакции. В основной системе таких сил на конце В не возникает. Устраним это статическое противоречие, приложим по направлению отброшенных связей неизвестные силы X₁ и X₂ (рис.1.5с).

Кинематическое противоречие состоит в том, что в заданной раме перемещения по направлению отброшенных связей равно нулю, а в основной системе они наличествуют. Устраним это кинематическое противоречие, приравняем нулю перемещения в основной системе по направлению отброшенных связей от заданной нагрузки и неизвестных усилий X₁ и X₂ .

(4.1)

Итак, при устранении обоих противоречий основная статически определимая система под действием заданной нагрузки и усилий X₁ и X₂ будет работать также как и рама, которую требуется рассчитать.

Уравнения (4.1) можно записать более подробно

(5.1)

Эта система уравнений называется канонической системой уравнений метода сил (для дважды статически неопределимой рамы).

Всякий коэффициент этой системы - это перемещение по направлению i-ой отброшенной связи от силы X _k = 1 .Эти перемещения можно вычислить по формуле Мора , используя способ Верещагина

(6.1)

здесь M_i и М_k моменты в раме от сил X_i = 1 и X_k = 1 соответственно.

Для вычисления коэффициентов предварительно нужно построить эпюры изгибающих моментов в основной системе от единичных нагрузок и перемножить их по способу Верещагина. Для рассматриваемой рамы характер этих эпюр М₁ и М₂, называемых единичными, показан на рис.1.6а и 1.6b .

Свободные или грузовые члены уравнений - это перемещения в основной системе по направлению отброшенной связи i от заданной нагрузки. Их вычисляют так же по формуле Мора, используя способ Верещагина., построив предварительно эпюру изгибающих моментов в основной системе от заданной нагрузки М_Р .

(7.1)

Вычисленные коэффициенты и грузовые члены подставляют в уравнения (5.1).

Система уравнений ( 5.1 ) позволяет найти неизвестные усилия в отброшенных связях X₁ и X₂ при выполнении условия (4.1).

Окончательную эпюру изгибающих моментов можно построить, приложив к основной системе заданную нагрузку и найденные силы Х₁ и Х_{2 .}

Однако проще это сделать, используя уже построенные единичные эпюры и грузовую:

М = М_Р + М₁ Х₁ + М₂ Х₂ . (8.1)

Проверка правильности окончательной эпюры М состоит в том, что ищут перемещения по направлениям отброшенных связей, то есть перемещения равные нулю.

Для этого нужно последовательно умножить окончательную эпюру М на единичные. Эту процедуру можно выполнить быстрее , если предварительно построить суммарную единичную эпюру M_S ,сложив все единичные в одну. Затем перемножить эпюры M_S и М.

( 9.1 )

Построив и поверив окончательную эпюру М и используя правило Журавского, вычисляют поперечные силы и строят эпюру Q.

Рассматривая равновесия узлов стержневой системы, вычисляют продольные силы и строят эпюру N.

Пример расчета простой рамы с одной неизвестной методом сил

Требуется построить эпюры M, Q и N в раме, показанной на рис.1.7.

1.По формуле (3.1) определяем степень статической неопределимости рамы, равную числу лишних связей

Л = - 3 ( 10.1 )

2.Основная система показана на рис.1.8. На этом же рисунке показано неизвестное усилие в отброшенной связи Х₁ .

Рис.1.7

3.Каноническое уравнение метода сил для системы с одной неизвестной имеет вид

(11.1)

4.Вычисляем коэффициент и грузовой член канонического уравнения.

Рис1..8

Для этого нужно в статически определимой основной системе построить эпюры изгибающих моментов от силы X₁ = 1 (единичную эпюру моментов М₁ ) и от заданной нагрузки (грузовая эпюра М_Р ).

Рис.1.9 Рис.1.10

Приведем расчет основной системы на единичную силу X₁ = 1 (рис.1.9)

Определим опорные реакции

,

Эпюра М₁ показана на рис.1.10.

Приведем расчет основной системы на заданную нагрузку (рис.1.11)

Определим опорные реакции

,

Рис.1.11 Рис.1.12

,

М ^{в середине пролета} =

На участках , где действует распределенная нагрузка, для дальнейших расчетов нужно определить значение изгибающего момента именно в середине участка. Это значение может быть и не максимальным..

На рис.1.12 показана грузовая эпюра М _Р .

Коэффициент получают умножением эпюр М₁ на М₁ .

Напоминание: при перемножении эпюр на горизонтальном стержне удобно воспользоваться формулой умножение “ трапеции на трапецию” (рис.1.13а)

Рис.1.13а

(12.1)

Грузовой член уравнения ( 11.1 ) получают умножением эпюры М_Р на М_1.

Напоминание: при перемножении эпюр, одна из которых очерчена по квадратной параболе (рис.1.14), удобно воспользоваться формулой Симпсона (рис.13.1))

Рис.1.13.b

= (13.1)

5.Подставляя найденные коэффициенты в каноническое уравнение, находим X₁

6. Строим окончательную эпюру М.

Предварительно строим исправленную эпюру М₁Х₁, умножая ординаты единичной эпюры М₁ на найденное значение силы Х₁ (Рис.1.14).Суммируя исправленную эпюру с грузовой, получаем окончательную эпюру М (рис.1.15)

Рис.1.14

Рис.1.15

7. Проверяем правильность окончательной эпюры М :

перемножим эпюры М и М₁ .

Ошибка счета из –за округлений составляет всего = 0.28%

8. Строим эпюру поперечных сил Q.

Там, где эпюра М –прямая линия, поперечная сила, вычисляется по формуле Журавского

( 14.1 )

Угол ,( следовательно, и ) принято считать положительным, если он отсчитывается от оси стержня по часовой стрелке. Рис.1.16

Q_A1 =

На участке, где действует распределенная нагрузка, поперечные силы определяются по краям участка по формулам

(15.1 )

Здесь важно не ошибиться со знаком эпюры М. Участок нужно рассматривать так, чтобы нагрузка действовала сверху вниз. Тогда (при условии, что эпюра М построена со стороны растянутых волокон) ординаты, расположенные над стержнем, принимаются отрицательными, под стержнем - положительными

Эпюра Q показана на рис.1.16.

9.Строим эпюру продольных сил N.

Вырезаем узел 1. Полагаем продольные силы растягивающими (рис.1.17_) Поперечные силы, возникающие около этого узла, берем из эпюры Q. В соответствии с принятым правилом знаков положительная поперечная сила вращает узел по часовой стрелке, отрицательная – против. Записывая уравнения равновесия, находим продольные силы.

Из равновесия узла 2 находим усилие N_2B ( Pис.1.18)

Из уравнения получаем уже Рис.1.17

известное значение

Эпюра N показана на рис.1.19

Рис.1.18

Рис.1..19

10. Проверяем равновесие рамы в целом. (рис. 1.20)

7.79 – 5 – 2.79 = 0,

25.2 – 48 + 22.8 = 0.

Рис.1.20