2.2 Решение задачи устойчивости методом конечного элемента (мкэ) по программе “Радиус”.

При расчете рамы на узловую нагрузку ( см.главу 4,раздел I) нужно решать уравнения, которые в матричной форме имеют вид

KZ = P ( 36.5 )

При решении задачи об устойчивости уравнения равновесия (36.5) дополняются членом, учитывающим реакции от продольных сил

КZ + L(Z)Z = P , ( 37.5)

Здесь К – матрица жесткости системы,

L(Z) - матрица геометрической жесткости, линейно зависящая от вектора перемещений и учитывающая дополнительное влияние внутренних сил на перемещения.

В задаче устойчивости вектор узловых нагрузок Р представляют в виде

Р = р Р_{действит. ,} (38.5 )

где Р_{действит} - вектор внешней нагрузкт,

р – скалярная величина, называемая параметром нагружения и определяющая критическую нагрузку

Р_крит = р_крит р_{действит} , ( 39.5 )

Вектор перемещений Z представляется в виде степенного ряда относительно параметра р.

Z = ( 40.5)

Здесь вектор линейных перемещений внешней нагрузки,

. . . - векторы перемещений узлов вследствие продольных сил.

Матрицу , учитывая линейную зависимость L от Z, представляют в виде

(41.5)

Подставляя (40.5) и (41.5) в уравнение (37.5), получают равенство, которое выполняется только тогда, когда равны слагаемые с одинаковыми степенями р.

После преобразований получают систему алгебраических уравнений, из которой путем итераций вычисляют

По найденным значениям строится ряд (40.4) при заданном уровне нагружения, определяемом параметром р.

Условие единственности решения требует, чтобы ряд (40.5) сходился к точному решению.

(41.5)

Сходимость ряда зависит от величины р.

При р = 0 ряд сходится, так как Z = Z_точн = 0. При р →∞ ряд расходится. Критическую нагрузку, определяемую параметром р , ищут из условия сходимости ряда (40.5).Математическое условие сходимости – расходимости ряда (40.5) , то есть решения уравнения (37.5), физически означает переход из устойчивого в неустойчивое состояние равновесия. Программа устроена так, что она останавливается в тот момент, когда ряд начинает расходиться. В этот момент машина выдает критический параметр р_крит .

р_крит = (42.5)

Если принять Р_действ= 1, то

р_{крит =} Р_крит (43.5)

Для практического нахождения критической узловой нагрузки рама нагружается в узлах единичными силами. При прорисовке стержней на экране монитора нужно разбивать их на несколько участков (минимум два, вводя жесткие узлы.). Это позволяет получить разумную точность.

Критическая нагрузка на стержень (рис.5.17a ) , рассчитанная по Эйлеру, равна

Р_крит =

где

Если разбить стержень на две части ( рис.5.17b) то на ЭВМ критическая нагрузка получается равной Р_крит = 15760 .

Ошибка по сравнению с точным расчетом составляет

.

Если ввести жесткие узлы через 1 метр, то есть 5 узлов, то критическая нагрузка на ЭВМ получается равной Р_крит =15545

Ошибка

Рис.5.17

Вопросы для самоконтроля

1.Какое явление называют потерей устойчивости?

2.Какие два вида потери устойчивости рассматриваются в инженерных расчетах?

3.Какую нагрузку называют критической при потере устойчивости 1-ого рода?

4. Какую нагрузку называют критической при потере устойчивости 2-ого рода?

5.Возможна ли потеря устойчивости при растяжении?

6.Какую задачу называют задачей Эйлера?

7.Во сколько раз отличается Р_крит сжатого стержня с одним заделанным и другим свободным концом от Р_крит стержня с двумя защемленными концами?

8.Какие допущения принимаются при расчете плоских рам на устойчивость?

9.Какой вид имеют канонические уравнения метода перемещений при расчете рам на устойчивость?

10.Как записывается уравнение изгиба сжатого стержня в момент потери устойчивости?

11.Какой способ применяется для решения уравнения устойчивости?