20. Неустойчивость процессов по отношению к начальным данным

21. Концепция этногенеза

Э̀тногене́з (от греч. ἔθνος, «племя, народ» и γένεσις, «происхождение») — процесс сложения этнической общности (этноса) на базе различных этнических компонентов. Этнос – группа людей, объединенная общими признаками.

Неоднородность социума с самого начала человеческой истории была обусловлена неоднородностью природных условий на поверхности Земли. В биоценозах отдельных ландшафтов формировались определённые этнические общности (греч. ethnos - племя) с единым стереотипом поведения. Поведение - определяющая черта этноса, в отличие от расы, о которой говорит внешний облик человека, и от нации, где основная характеристика - культура. Например, в Китае несколько этносов объединены в одну нацию; в арабских странах разные нации составляют один этнос. Развивая учение об этногенезе, Л.Н.Гумилёв (1912-1992) установил, что в появлении нового этноса существенную роль играет пассионарность - способность к сверхнапряжению ради идеальных целей [137]. Легче согласовать законодательства, чем стереотипы поведения.

Л.Н. Гумилев – представитель социобиологического направления. Рассматривал этнос, как биологическое сообщество существа вида Homo Sapiens , подобно ареалу обитания животных. Началом этногенеза Л.Н. Гумилев считал так называемый «пассионарный толчок» (некие космические излучения). Дальнейшее развитие этноса определяется территорией расселения и психобиологическими характеристиками пассионарности. Этнос, как "замкнутая система дискретного типа", извне "получает заряд энергии и, растратив его, переходит либо к равновесному состоянию со средой, либо распадается на части". Пассионарный толчок чаще всего проходит по границам ландшафтных регионов и в зонах этнических контактов. Пассионарность в результате толчка обретают не все жители региона, а только часть — пассионарии, создатели этноса. Пассионарность заразительна, и пассионарии распространяют ее среди тех, кто им симпатичен; это возможно, считает Л.Н. Гумилев, благодаря тому, что каждый живой организм обладает особым энергетическим полем, для людей это — этническое поле. Одно из главных отличий этносов друг от друга состоит в частоте колебаний их этнических полей. Вместе с этносами возникают и развиваются другие общности, имеющие этническую окраску, — суперэтносы и субэтносы. Суперэтнос — это "группа этносов, возникшая одновременно в одном регионе и проявляющая себя как мозаичная целостность". Субэтносы — более мелкие подразделения, "существующие лишь благодаря тому, что они входят в единство этноса.

Предложил концепцию развития этноса как своеобразного биосоциального организма, который последовательно проходит все фазы от рождения (этногенеза) до смерти или "вечного сна" (гомеостаза). Средняя продолжительность активной "жизни" этносов, в рамках его гипотезы, около тысячи лет.

22. Исследование устойчивости. Модель с обратной связью

См. «6. Модели с обратной связью»

23. Размерность и кривизна пространства

Под размерностью пространства обычно понимают минимальное число параметров, определяющих его точку. Так, прямая линия одномерна, поскольку точку на ней можно определить, задавая расстояние от начала. На плоскости надо задавать две координаты, в пространстве – три.

В ньютоно-картезианской картине мира пространство представлялось сценой, на которой разыгрывалась мировая драма. Арена не зависела от событий, которые на ней происходили. Однако по мере углубления в природу вещей физики и философы подобрались и к вопросу о связи происходящих событий со свойствами пространства и времени. Существует ли, например, связь законов физики с трёхмерностью нашего пространства?

В 1917 году австрийский физик П.Эренфест (1880-1933), решая уравнение Пуассона для потенциала электромагнитных сил в n – мерном пространстве, получил обобщение закона Кулона в виде F ~ r^1-n , так что в трёхмерном пространстве, при n=3, силы взаимодействуют действительно обратно пропорционально квадрату расстояния. Более того, оказалось, что только при n = 3 возможно как устойчивое финитное (без ухода на бесконечность), так и инфинитное движение, т.е. трёхмерность обладает определёнными преимуществами перед другими вариантами размерности. При n < 3 не могут возникнуть сложные структуры, при n > 3 не могут существовать устойчивые атомы и планетные системы.

Другой интересный вопрос – о кривизне пространства. В случаях n = 1 и n = 2 это свойство нетрудно представить, изгибая прямую или плоскость. При n ≥ 3 оно тоже существует, хотя и не столь наглядно, так как для изгибания нужно выходить в следующее измерение.

Можно ли судить о кривизне пространства, не выходя за его пределы? Оказывается, возможно. Покажем это в случае n = 2. Известно, что на плоскости сумма внутренних углов треугольника равна π. На искривлённой поверхности это не так. Например, у сферического треугольника ABC все углы прямые, так что α + β + γ = 3π/2. Имеет место формула α + β + γ – π = kS, где S – площадь треугольника, k – кривизна. Таким образом, жители двумерного мира могут определять свою кривизну по формуле k = (α + β +γ – π)/ S, измеряя площадь и внутренние углы треугольников. Для этого не требуется выходить в третье измерение. Кривизну трёхмерного пространства тоже можно определять, не выходя за его пределы. Измерения показывают, что кривизна нашего пространства не нулевая, однако мала и неоднородна, будучи зависящей от плотности вещества и энергии.

Вспоминая нашу дилемму "дискретность-непрерывность", можно отметить, что понятие размерности пространства употреблялось пока сугубо дискретно (n = 1, 2, 3,...) в силу его определения. Но существуют объекты, для установления размерности которых такого определения недостаточно. Например, плоская спираль, будучи одномерной, по мере закручивания к точке сгущения становится всё более похожей на двумерный объект. Имеется немало и природных объектов, размерность которых не выражается целым числом. Хорошо известна проблема измерения длины береговой линии, где результат оказывается зависящим от длины линейки: чем короче линейка, тем длиннее эта извилистая линия.

Для решения таких проблем требуется более общее определение размерности. Введём его, следуя Ф.Хаусдорфу (нем. матем., 1868-1942). Если линейка длины ε укладывается N раз в отрезке длины A, то очевидно Nε = A. Если квадратик со стороной ε укладывается N раз в квадрате площади A, то Nε² = A. Для куба объёма A аналогично Nε³ = A. Показатель степени у ε в каждом случае совпадает с размерностью объекта. Поэтому можно записать Nε^D = A, где D – размерность. Отсюда D = (lnA – lnN)/lnε. Для аккуратного покрытия сложных объектов с измельчённой структурой величина ε должна быть достаточно малой. Поэтому размерность произвольного объекта в n-мерном пространстве определяется по формуле D = -lim(lnN/lnε) при ε→ 0, где N – минимальное число n-мерных кубов со стороной ε, покрывающих данный объект. Слагаемое, содержащее lnA, при этом исчезает, так что размерность объекта не зависит от его меры.

Рассмотрим пару примеров:

1. Канторово множество. Единичный отрезок прямой делим на три равные части и среднюю часть выбрасываем. С каждой из двух оставшихся частей совершаем ту же операцию. Продолжая этот процесс, на n-м шаге имеем N = 2ⁿ кусочков длины ε = 3^-n. Их суммарная длина An = (2/3)ⁿ. При n→∞ получаем An→0, а D = ln2/ln3 = 0.631... < 1, так что размерность Канторова множества больше, чем у точки, но меньше, чем у линии.

2.Остров Кох. Берём правильный треугольник с единичной стороной. Каждую сторону делим на три равные части и среднюю часть заменяем зубчиком, как показано на рис.3. Затем эту операцию применяем к каждому из 12 образовавшихся звеньев. И так далее. На n-м шаге имеем N = 3·4ⁿ отрезков длины ε = 3^-n . Их суммарная длина An = 3(4/3)ⁿ. При n→∞ An→∞, а D = ln4/ln3 = 1.26...< 2. Таким образом, размерность берега у этого острова больше, чем у линии, но меньше, чем у площади. Площадь всего острова Кох конечна, она равна 2·3^1/2/5. А периметр – бесконечный, так что прогулка вдоль берега может продолжаться всю жизнь.

Объекты дробной размерности называются фракталами (от англ. fraction – дробь). Как видно из примеров, фракталы обладают свойством масштабной инвариантности, или самоподобия: изменение масштаба не меняет их структуры. В рассмотренных моделях это свойство сохраняется при уменьшении ε вплоть до нуля. В реальных фракталах оно наблюдается на ограниченном масштабном интервале, там, где сохраняется величина размерности D, аналогично значениям макропараметров в концепции сплошной среды.

Фрактальность оказывается фундаментальным свойством материи, и оппозицию "дискретность-непрерывность" мы можем теперь переосмыслить в составе триады

непрерывность

/ \

дискретность -------- фрактальность.