24. Фракталы: определение, свойства, примеры

Объекты дробной размерности называются фракталами (от англ. fraction – дробь).

Имеется немало и природных объектов, размерность которых не выражается целым числом. Хорошо известна проблема измерения длины береговой линии, где результат оказывается зависящим от длины линейки: чем короче линейка, тем длиннее эта извилистая линия.

Для решения таких проблем требуется более общее определение размерности. Введём его, следуя Ф.Хаусдорфу (нем. матем., 1868-1942). Если линейка длины ε укладывается N раз в отрезке длины A, то очевидно Nε = A. Если квадратик со стороной ε укладывается N раз в квадрате площади A, то Nε² = A. Для куба объёма A аналогично Nε³ = A. Показатель степени у ε в каждом случае совпадает с размерностью объекта. Поэтому можно записать Nε^D = A, где D – размерность. Отсюда D = (lnA – lnN)/lnε. Для аккуратного покрытия сложных объектов с измельчённой структурой величина ε должна быть достаточно малой. Поэтому размерность произвольного объекта в n-мерном пространстве определяется по формуле D = -lim(lnN/lnε) при ε→ 0, где N – минимальное число n-мерных кубов со стороной ε, покрывающих данный объект. Слагаемое, содержащее lnA, при этом исчезает, так что размерность объекта не зависит от его меры.

Рассмотрим пару примеров:

1. Канторово множество. Единичный отрезок прямой делим на три равные части и среднюю часть выбрасываем. С каждой из двух оставшихся частей совершаем ту же операцию. Продолжая этот процесс, на n-м шаге имеем N = 2ⁿ кусочков длины ε = 3^-n. Их суммарная длина An = (2/3)ⁿ. При n→∞ получаем An→0, а D = ln2/ln3 = 0.631... < 1, так что размерность Канторова множества больше, чем у точки, но меньше, чем у линии.

2.Остров Кох. Берём правильный треугольник с единичной стороной. Каждую сторону делим на три равные части и среднюю часть заменяем зубчиком, как показано на рис.3. Затем эту операцию применяем к каждому из 12 образовавшихся звеньев. И так далее. На n-м шаге имеем N = 3·4ⁿ отрезков длины ε = 3^-n . Их суммарная длина An = 3(4/3)ⁿ. При n→∞ An→∞, а D = ln4/ln3 = 1.26...< 2. Таким образом, размерность берега у этого острова больше, чем у линии, но меньше, чем у площади. Площадь всего острова Кох конечна, она равна 2·3^1/2/5. А периметр – бесконечный, так что прогулка вдоль берега может продолжаться всю жизнь.

Как видно из примеров, фракталы обладают свойством масштабной инвариантности, или самоподобия: изменение масштаба не меняет их структуры. В рассмотренных моделях это свойство сохраняется при уменьшении ε вплоть до нуля. В реальных фракталах оно наблюдается на ограниченном масштабном интервале, там, где сохраняется величина размерности D, аналогично значениям макропараметров в концепции сплошной среды.

Фрактальность оказывается фундаментальным свойством материи, и оппозицию "дискретность-непрерывность" мы можем теперь переосмыслить в составе триады

непрерывность

/ \

дискретность -------- фрактальность.

25. Основные понятия асимптотической математики

Асимптота определяется в школьной геометрии как линия, к которой неограниченно приближается рассматриваемая кривая, никогда её не достигая. Греческое слово asymptotos означает несовпадающая. Оно удачно подчеркивает, что приближение не превращается в совпадение.

Приближаясь к какой-либо особенности, мы оказываемся в ситуации, которую можно называть асимптотической. Искусство обращения с прикладными математическими системами в предельных случаях М.Крускал назвал асимптотологией, призвав к превращению его в науку [84]. Однако включить асимптотические методы в строгую математику никак не удавалось: несовпадение стояло препятствием на пути к абсолютной точности [5].

Асимптотология сопротивлялась онаучиванию. Проблема состояла в том. что формализованные определения оказывались слишком узкими, а достаточно широкие определения не удовлетворяли требованиям научности. Реально сложившаяся методология не допускала строгой дефиниции в рамках классической математики. Асимптотический опыт включал изрядную долю неопределённости.

Рассматривая ситуацию с самых широких позиций, мы можем констатировать, что любой исследуемый объект, вообще говоря, не является однородным. Существуют области резкого изменения количества: разрыв, излом, обращение в нуль или бесконечность и т.д. Переход количества в качество воспринимается как особенность, и такие области естественно выделяются как особые. Они могут быть точками, линиями, поверхностями и вообще некоторыми многообразиями размерности m. Пусть m < n, где n — число независимых координат и параметров рассматриваемого объекта. Асимптотическая ситуация возникает, когда исследуются окрестности особых многообразий, причём не фиксированные, а сжимающиеся. Явления, характерные для такого подхода, принято называть асимптотическими.

Эти определения очевидно не претендуют на строгость, ибо включают понятия особенности и характерности, в значительной мере условные. Действительно, какое изменение количества считать качественным и какое поведение — характерным, остаётся не вполне ясным. Однако эта условность, на наш взгляд, естественна, и её не следует устранять, если хотим ухватить суть асимптотического подхода. Она столь же естественна, как условность, присущая любому живому языку. М.

Таким образом, асимптотическая методология не находит достаточно строгого определения в рамках классической математики, потому что сущность её не охватывается традиционной научной парадигмой.

Попытаемся подойти к определению асимптотических методов с широких позиций, руководствуясь, прежде всего, критерием адекватности реальному объекту, не стремясь загонять его в прокрустово ложе традиционной парадигмы.

В качестве первого приближения проще всего назвать асимптотическими методами те, что приспособлены для исследования асимптотических явлений. Однако их содержание таким путём ещё не раскрывается. Цель асимптотического подхода заключается в упрощении предмета исследования. Это упрощение достигается за счёт уменьшения окрестности рассматриваемой особенности. Причём характерно, что вместе с такой локализацией возрастает и точность асимптотических представлений. Точность и простота обычно встречаются как понятия противоположные, дополнительные. Стремясь к простоте, мы жертвуем точностью: добиваясь точности, не ждём простоты. Однако при локализации эти антиподы сходятся, противоречие разрешается, снимается в синтезе, имя которому — асимптотика [5].

Итак, суть асимптотических методов состоит в том, что они осуществляют синтез простоты и точности за счёт локализации: в окрестности некоторого предельного состояния находится упрощённое решение задачи, которое тем точнее, чем меньше эта окрестность. Как отмечал ещё Лаплас, асимптотические методы тем точнее, чем нужнее. Действительно, потребность в них появляется там. где глобальные методы не срабатывают, но именно там. в окрестности особенностей, они и наиболее эффективны.

Локализация — имманентное свойство асимптотической методологии, характеризующее её динамичность, подвижность, живость. Останавливая движение, мы замораживаем размеры области и тем самым ограничиваем возможности как упрощения, так и уточнения. Иными словами, простота и точность связаны соотношением дополнительности, а мерой неопределённости является величина области. Такое соотношение имеет место для каждой пары из этих трёх компонент асимптотики, а третий параметр всегда выступает в роли регулятора.

Действительно, пусть имеется разложение функции f(x) по асимптотической последовательности {_n(х)}:

Частную сумму этого ряда обозначим через S_N(х), а точность аппроксимации будем характеризовать величиной ∆_N(х) = | f(x) - S_N(x) |. Простота характеризуется здесь числом N, локальность — длиной интервала х. Рассмотрим попарно взаимосвязь величин х, N, ∆. опираясь на известные свойства асимптотических разложений. При заданном малом значении х разложение вначале сходится, так что точность и простота в какой-то мере совмещаются. Если зафиксировать N. то конкурентами становятся точность и величина области. А при заданном значении ∆ простота достигается тем легче, чем меньше область.

Согласованное взаимодействие этих трех компонент образует очевидную целостность. Следовательно, триаду точность-локальность-простота можно рассматривать как определение асимптотической методологии.