28. Модель популяции с учётом смертности

См. «12. Демографические модели»

29. Множества счётные и континуальные

См. вопрос о «Множествах»

30. Бесконечность: потенциальная и актуальная

В словаре бесконечное и конечное рассматриваются как противоположные стороны объективного мира: бесконечное характеризует материю в целом, конечное – конкретные явления и объекты, ограниченные в пространстве и времени; через познание конечного наука идёт ко всё большему раскрытию бесконечного.

Согласно философской энциклопедии, бесконечность есть то, конец чего не может мыслиться, границы чего нельзя усмотреть; а конечность отождествляется с ограниченностью.

Признавая существование бесконечного, человек всегда стремился разгадать его тайну. Как писал Д.Гильберт (нем. математик, 1862-1943): «С давних пор никакой другой вопрос так глубоко не волновал человеческую мысль, как вопрос о бесконечности. Бесконечное действовало на разум столь же побуждающе и плодотворно, как едва ли действовала какая-либо другая идея».

Древнее представление о том, что мир конечен и ограничен небесным сводом, подвергалось сомнению всегда. «Вселенная бесконечна и бесчисленны её миры» - говорил греческий философ Анаксимандр в 1-м веке до н.э. Но рассуждения о бесконечном приводили к парадоксам и вызывали бесконечные споры. Хорошо известен знаменитый парадокс Зенона Элейского о том, что Ахиллес не сможет догнать черепаху. Пифагор питал отвращение к бесконечному. Аристотель, рассматривая бесконечность как нескончаемый процесс из последовательных шагов, назвал такую бесконечность потенциальной, в отличие от актуальной, т.е. завершённой, реализованной, "ставшей". Последнюю он просто не стал рассматривать.

В античном представлении прямая линия есть потенциальная бесконечность, ибо продвижение по ней всегда можно продолжить. Актуальную бесконечность не признавал и Кеплер. Однако вопрос не так очевиден, как может показаться на первый взгляд. Придайте прямой кривизну и она свернётся в окружность, которая тоже не имеет конца, но вся помещается в конечной области. Циклическое представление о бесконечности было издавна свойственно Востоку. В Европе путь к пониманию актуальной бесконечности проложили Колумб и Магеллан.

Но не обязательно представлять её столь масштабно. Бесконечное число точек содержится (актуализируется) в любом конечном отрезке. Так, Лейбниц, допуская сначала актуальную бесконечность только по отношению к миру в целом, распространил затем это представление и по отношению к бесконечно-малым величинам. С другой стороны, если подходить к этим величинам через сходящуюся последовательность, то актуальная бесконечность снова превращается в потенциальную. Таким образом, вопрос опять запутывается. Мир конечен или мир бесконечен – первая из антиномий Канта. В книге [112] читаем: «Среди математиков отсутствует единство в понимании такого коренного для судеб всего точного естествознания вопроса, как "можно ли бесконечное мыслить актуально?!"».

31. Триада материи: вещество-сила-поле

Следуя системному подходу, от элементов (частиц) и связей (взаимодействий) нужно переходить к субстанциальному аспекту, характеризующему целостность, и осознанию единства всей системы. Для этого нам понадобится более основательное освоение понятий массы, силы и поля.

Масса определяется в физике как мера инерционных и гравитационных свойств материи. Инерция – свойство сохранять скорость движения при отсутствии внешних воздействий. Сила – мера воздействия, причина изменения скорости движения. Масса m, сила F и ускорение a , как известно, связаны вторым законом Ньютона F = m·a.

Дав качественное определение массы и силы как меры некоторых свойств и причин, нужно указать способы количественного определения этих мер. Уравнения Ньютона для этих целей, на первый взгляд, недостаточно, так как в нём одном имеем две неизвестных пока величины: m и F (измерять ускорение мы умеем). Кроме того, это равенство претендует на большее, чем количественное определение массы или силы. Оно утверждает, что между ними, уже каким-то образом измеренными, существует универсальная связь. Оглянемся на тот факт, что в определении массы говорится не только об инерционных, но и о гравитационных свойствах материи. Последние находят выражение в законе всемирного тяготения F = =Gm₁m₂r^–2, где m₁ и m₂ - две массы, r – расстояние между ними, F – сила притяжения, G – гравитационная постоянная. Следуя определению, измерять массы можно на основе и этого равенства, причём ниоткуда не следует, что численные значения получатся теми же самыми, как по предыдущему способу. Однако фактически они совпадают. Обнаруженное равенство инерционной и гравитационной масс носит название принципа эквивалентности. Объяснение достигается на более глубоком уровне изучения свойств материи.

Возьмёмся, наконец, за осмысление понятия поля. Разумеется, в физике, а не в сельском хозяйстве. Первые шаги к освоению этого понятия были сделаны, когда пришлось воспринимать гравитацию как силу, действующую на расстоянии. Это было что-то таинственное. Ньютон писал, что сила есть qualitas occulta (лат. occultus – скрытый, сокровенный, тайный; quālitās – качество, свойство). С открытием электромагнетизма появилось представление о силовых полях, подкрепляемое картинами силовых линий, овеществляемых с помощью металлического порошка. Но, как и гравитационное, электромагнитное поле рассматривалось как нечто вторичное, порождаемое веществом: телами, зарядами, магнитами. Даже в энциклопедическом словаре 1983 года издания утверждается, что источниками полей являются частицы.

Концепция первичности вещества и вторичности поля, конечно, была связана с материалистической доминантой физики. Однако последнее время в оппозиции вещество-поле на первый план всё больше выдвигается понятие поля, а частицы вещества рассматриваются как некие сгустки, особенности, сингулярности, порождаемые полем. Маятник бинарной парадигмы качнулся в другую сторону.

Само поле определяется как вид материи с нулевой массой покоя или как вид материи с бесконечным числом степеней свободы. Рациональное понимание таких формулировок, несмотря на навязчивый редукционизм, встречает затруднения и поневоле приходится обращаться к интуиции. Существенным подспорьем тут служит концепция физического вакуума, под которым понимается основное, т.е. энергетически низшее состояние поля. Иными словами, это материальная среда, изотропно заполняющая всё пространство, ненаблюдаемая в невозмущённом состоянии и проявляющаяся через флуктуации.

Понятие вакуума воскрешает в памяти существовавшее когда-то представление об эфире как гипотетической всепроникающей среде, переносящей электромагнитное воздействие. Механическая интерпретация эфира встретилась с большими трудностями, которые привели к отказу от механических полевых моделей уже к концу 19-го века. В последнее время эта гипотеза возрождается под именем планкеонного эфира.

Другая ассоциация – с восточным представлением о великой Пустоте, представлением, вытекающим из признания отсутствия независимости, из невозможности самодостаточного существования, так что Пустота является общей исходной природой реальности.

Итак, смена доминант, характерная для переходного периода в бинарной парадигме, происходит и в оппозиции вещество-поле. На таком этапе динамического баланса имеется больше шансов увидеть третий фактор, ведущий к целостности. В качестве гипотезы можно предложить следующую триаду фундаментальных аспектов материи:

поле

/ \

вещество ---- сила