Тема 2. Математична основа карт
2.1. Поняття про картографічні проекції. Класифікація проекцій за характером спотворень
2.2.Класифікація проекцій за видом меридіанів та паралелей нормальної сітки
2.3.Спотворення в картографічних проекціях та їх розподіл . Визначення розмірів спотворень на картах
2.4. Загальновідомі проекції для карт світу, півкуль, материків та України. Проекції топографічних карт
2.5. Координатні сітки
2.1.Поняття про картографічні проекції. Класифікація проекцій за характером спотворень
При переході від фізичної поверхні Землі до її відображення на площині (на карті) виконують дві операції: проектування земної поверхні з її складним рельєфом на поверхню земного еліпсоїда, розміри якого встановлені за допомогою геодезичних та астрономічних вимірювань, і зображення поверхні еліпсоїда на площині за допомогою однієї з картографічних проекцій.
Картографічна проекція це математично визначений спосіб відображення поверхні еліпсоїда на площині, що встановлює аналітичну залежність (відповідність) між геодезичними координатами точок земного еліпсоїда і прямокутними координатами тих же точок на площині. Ця залежність може бути виражена двома рівняннями:
,
,
(2.1)
які називають рівняннями картографічних проекцій. Вони дозволяють обчислювати прямокутні координати х, у точки, що зображується, за географічними або геодезичними координатами В і L. Кількість можливих функціональних залежностей і, отже, проекцій необмежено. Тільки необхідно, щоб кожна точка В, L еліпсоїда зображалася на площині однозначно відповідною точкою х, у і щоб зображення було безперервним.
Поверхню еліпсоїда (або кулі) не можна розвернути на площині подібно до поверхні конуса або циліндра. Тому безперервність і однозначність зображення досягаються за рахунок нерівномірного розтягування (або стиснення) поверхні еліпсоїда при поєднанні її з площиною. Звідси витікає, що масштаб плоского зображення не може бути постійним. Для наочного уявлення про величину і характер спотворень, властивих певній проекції, розглядають зображення на площині нескінченно малих кіл, взятих в різних точках на поверхні еліпсоїда. В теорії картографічних проекцій доводиться, що нескінченно мале коло на поверхні еліпсоїда в загальному випадку зображується на площині еліпсом, так званим еліпсом спотворень. Це означає, що масштаб зображення залежить не тільки від положення точки, але може змінюватися в даній точці із зміною напряму. Розрізняють головний масштаб, який дорівнює масштабу моделі земного еліпсоїда, зменшеного в заданому відношенні для зображення на площини, та інші масштаби, які називають частковими.
Проекцій, позбавлених від спотворень довжин, не існує. Такі проекції зберігали б подібність і пропорційність всіх частин земної поверхні, що може мати місце тільки на моделі еліпсоїда. Є проекції, вільні від спотворення кутів або від спотворень площ.
Рівновеликі проекції зберігають площі (еліпси спотворень скрізь мають однакову площу), але значно порушують подібність фігур (витягнутість еліпсів спотворень неоднакова, рис. 2.1,а).
Проекції, які передають величину кутів без спотворення, називаються рівнокутними. Одна з них зображена на рис.2.1,в. У кожній точці рівнокутної проекції масштаб однаковий на всіх напрямах (еліпс спотворень перетворюється на коло), але змінюється від точки до точки. Це видно за зміною розмірів кіл - еліпсів спотворень.
Крім рівнокутних та рівновеликих проекцій існують безліч проекцій, які називають довільними. Але немає і не може бути проекції, яка була б одночасно рівнокутною і рівновеликою. Взагалі кажучи, чим більше спотворення кутів, тим менше спотворення площ і, навпаки.
Серед довільних проекцій виділяють рівнопроміжні, в усіх точках яких масштаб за одним із головних напрямів постійний і рівний головному масштабу (наприклад, за меридіанами або паралелями в проекціях, де вони співпадають з головними напрямами, рис.2.1,б). За своїми властивостями довільні проекції знаходяться між рівнокутними і рівновеликими.
Рис. 2.1. Картографічні сітки в циліндричних проекціях:
а – рівновеликій; б – рівнопроміжній; в – рівнокутній (Меркатора)