2. Особенности оценки параметров нелинейных моделей

Соотношение между социально-экономическими явлениями и процессами далеко не всегда можно выразить линейными функциями. Так, нелинейными оказываются производственные функции (зависимости между объемом произведенной продукции и основными факторами производства – трудом, капиталом и т. д.), функции спроса (зависимость между спросом на товары, услуги и их ценами или доходом) и др.

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций.

Нелинейность может проявляться как относительно переменных, так и относительно входящих в функцию коэффициентов (параметров).

Различают два класса нелинейных регрессий

Для оценки параметров нелинейных моделей используются два подхода.

Первый подход основан на линеаризации модели и заключается в том, что с помощью подходящих преобразований исходных переменных исследуемую зависимость представляют в виде линейного соотношения между преобразованными переменными.

Второй подход обычно применяют в случаях, когда подобрать соответствующее линеаризующее преобразование не удается. Тогда использует методы нелинейной оптимизации на основе исходных переменных.

Применяемые чаще всего в экономическом анализе виды нелинейных регрессий следующие: полином второго порядка, гипербола, степенная функция и показательная функция.

Однако параметров нелинейной регрессии по переменным, включенным в анализ, но линейным по оцениваемым параметрам, проводиться с помощью МНК путем решения нормальных уравнений.

Регрессии, нелинейные по переменным, но линейные по оцениваемым параметрам:

1. полином второго порядка ŷ_x = a₀ + a₁x_i + a₂x_i²

Нормальные уравнения:

;

;

.

2. гипербола ŷ_x = a₀ + a₁

Нормальные уравнения

;

.

Или заменим 1/x_i на новую переменную X. В результате получим линейное уравнение:

Ŷ_x = a₀ +a₁X.

Параметры определяются из следующих формул:

a₀ =

Линеаризация регрессий, нелинейных по оцениваемым параметрам:

1. степенная функция ŷ_x

Для определения параметров степенной функции с помощью МНК необходимо привести ее к линейному виду путем логарифмирования обеих частей уравнения:

ln ŷ_x

Это уравнение представляет собой прямую линию на графике, по осям которого откладываются не сами числа, а их логарифмы (так называемая логарифмическая школа или логарифмическая сетка).

Пусть Y=ln ŷ_x, X=ln x_i, A=ln a₀. Тогда уравнение примет вид

Y = A + a₁X

Параметры модели определяются по следующим формулам:

2. показательная функция

ŷ_x

Линеаризацию переменных проведем путем логарифмирования обеих частей уравнения:

ln ŷ_x =

Уравнение изображается прямой линией на полулогарифмической сетке, которая получается как сочетание натуральной шкалы для значения независимой переменной х и логарифмической шкалы – для значения зависимой переменной у.

Пусть Y = ln ŷ_x, A = ln a₀, B =ln a₁. Тогда уравнение примет вид

Параметры модели определяются по следующим формулам:

При использовании любой формы криволинейной корреля­ционной зависимости теснота связи между переменными может быть измерена с помощью индекса корреляции, который опреде­ляется аналогично коэффициенту корреляции для линейной формы связи.

Уравнение корреляционной связи должно быть по возмож­ности более простым, чтобы сущность изучаемой зависимости между переменными проявлялась достаточно четко, а параметры уравнения поддавались определенному экономическому толкованию. Вопрос выбора соответствующего уравнения связи решается в каждом случае отдельно.