2. Модели системы одновременных уравнений и их составляющие

В любой эконометрической модели в зависимости от конечных прикладных целей её использования все входящие в неё переменные подразделяются на:

1. Экзогенные - т.е. задаваемые извне, автономно, в определённой степени управляемые и планируемые. Обозначается обычно как .

2. Эндогенные – значения которых формируются в процессе и внутри функционирования анализируемой системы под воздействием экзогенных переменных и во взаимодействии друг с другом. Обозначается как . Является зависимой переменной, их число равно числу уравнений в системе.

В модели и :

- экзогенная

, - эндогенная

С математической точки зрения главное отличие между эндогенными и экзогенными переменными в том, что экзогенные не коррелируют с ошибками регрессии, тогда как эндогенные, как правило, коррелируют.

3. Предопределенные переменные - те, которые выступают в роли фактов или объясняющих переменных. К ним относят все экзогенные переменные и лаговые эндогенные переменные системы

Таким образом, можно сказать, что эконометрическая модель служит для объяснения поведения эндогенных переменных в зависимости от значения экзогенных и лаговых эндогенных переменных.

Простейшая структурная форма модели:

где - эндогенная переменная

-экзогенная

Классификация переменных на экзогенные и эндогенные зависит от теоретической концепции модели. Переменные могут выступать в одних моделях как эндогенные, а в других - как экзогенные.

Структурная форма модели содержит в правой части коэффициенты и , которые называются структурные коэффициенты модели.

Система соотношений, в которой все эндогенные переменные явно линейно выражены через предопределенные переменные и случайные величины, называется приведенной формой эконометрической модели.

Общий вид приведенной формы модели:

(дельта)- коэффициенты приведенной формы модели.

Структурная форма модели отражает реальный экономический объект или явление и показывает как изменение любой экзогенной переменной определяет значения эндогенной переменной.

Классы структурных уравнений модели

- Поведенческие уравнения описывают взаимодействие между экзогенными и эндогенными переменными;

-Тождества устанавливают соотношение между эндогенными переменными, не содержат случайных составляющих и структурных коэффициентов модели.

Причины, по которым наряду со структурной формой модели строят ее приведенную форму:

- Оценки параметров структурной формы модели, найденные с помощью МНК, являются смешенными и несостоятельны­ми (нарушаются предпосылки МНК) в силу того, что эндо­генные переменные, как правило, коррелируют со случай­ным отклонением;

- Независимость уравнений в приведенной форме модели по­зволяет определять состоятельные оценки ее параметров с помощью МНК;

- Параметры (коэффициенты) приведенной формы модели связаны с параметрами ее структурной формы.

3. Решение проблем идентификации

Переход от приведенной формы модели к ее структурной форме связан с решением проблемы идентификаций!

Идентификация – единственность соответствия между приведенными и структурными формами модели.

Модели могут быть 3-х видов:

I. идентифицируемые,

II. неидентифицируемые,

III. сверхидентифицируемые,

Модель идентифицируема, если все ее структурные коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т.е. число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы.

Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить 2 или более значений 1 структурного коэффициента.

Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждое из которых требуется проверить на идентифицируемость.

Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно уравнение неидентифицируемо, то и вся система считается неидентифицируемой. Если модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение, при условии, что все остальные точно идентифицируемы, то вся модель считается сверхидентифицируемой.

Cчетное правило (т.е. необходимое условие идентификации).

H - число эндогенных переменных в уравнении,

D - число предопределенных уравнением переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе

Если D+1=H - система идентифицируема,

Если D+1<H - система неидентифицируема,

Если D+1>H - система сверхидентифицируема.

Пример. Имеется система уравнений:

Проверяем необходимое условие идентификации

уравнение	H	D	неравенство	характеристика уравнения
1	, ,	,	2+1=3	идентифицируемо
2	,	,	2+1>2	сверхидентифицируемо
3	, ,		1+1<3	неидентифицируемо

Система неидентифицируема, т.к. уравнение 3 идентифицируемо, и не имеет статистическое решение.

Достаточное условие идентификации

По этому условию более точно определяется идентификация модели.

Определитель матрицы, составленный из коэффициентов при переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе

( всех переменных: экзогенных и эндогенных), не равен 0 и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без 1.

Пример:

1)Проверим необходимое условие идентификации (его соблюдение)

1 уравнение: H = 3; D = 2, 2+1=3 идентифицируемо

2 уравнение: H = 2; D = 1, 1+1=2 идентифицируемо

3 уравнение: H = 3; D = 1, 2+1=3 идентифицируемо

В соответствии с необходимым условием, модель считается идентифицируемой.

2)Проверим на достаточное условие идентификации 1 уравнение:

уравнение	переменные
2
3	0	0

, следовательно, уравнение 1 неидентифицируемо.

Проверим 2уравнение:

уравнение	переменные
1
3	-1

, что соответствует обоим критериям достаточного условия, следовательно уравнение идентифицируемо.

Проверим уравнение 3:

уравнение	переменные
1	0	0
2

уравнение неидентифицируемо.

Структурная модель, идентифицируемая по счетному правилу (по необходимому условию), оказалась неидентифицируема по достаточному условию. Система неидентифицируема.

Важно! Каждое уравнение системы оценивают тогда и только тогда, когда установлена его идентифицируемость.

Отметим, что идентификация не применяется для тождеств модели.