Степенная модель.

Уравнение степенной модели имеет вид:

Данная функция нелинейна относительно параметров, но линейна по переменным. Прежде, чем проводить анализ необходимо перейти от нелинейной формы к линейной. В регрессиях нелинейных относительно параметров процедура линеаризации (аноморфоза) производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

Введем замену:

Вновь полученное уравнение будет иметь вид:

Найдем среднее квадратическое отклонение по L:

Таблица 3.7. – Расчетные величины, необходимые для определения параметров уравнения

№ хозяйства
1	0,2885	2,0454	0,0832	4,1838	0,5900
2	0,5375	2,1102	0,2889	4,4531	1,1342
3	0,2614	2,0803	0,0684	4,3276	0,5439
4	0,4446	2,0513	0,1977	4,2079	0,9120
…	…	…	…	…	…
15	0,3568	2,0238	0,1273	4,0956	0,7220
Итого	6,4241	30,9615	2,9315	64,1339	13,3599
Среднее	0,4283	2,0641	0,1954	4,2756	0,8907

Для расчета параметров уравнения регрессии воспользуемся готовыми формулами:

Уравнение принимает вид:

Проведем потенцирование полученного уравнения:

Коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:

С увеличением затрат труда в растениеводстве на 1 % от своего среднего значения валовой доход отрасли увеличивается в среднем на 0,56 %.

Рисунок 3.3. – Влияние затрат труда в растениеводстве на валовой доход отрасли (степенная модель)

Для расчета индекса корреляции выполним вспомогательные расчеты (таблица 3.8).

Индекс корреляции показывает, что связь между затратами труда в растениеводстве и валовым доходом отрасли заметная. По индексу корреляции нельзя судить о направлении связи.

Коэффициент детерминации рассчитаем по формуле:

Таблица 3.8. – Расчетные величины, необходимые для расчета индекса корреляции и определения показателей аппроксимации

№	Х, тыс. чел.час./га	У, тыс. руб.	Расчетные величины
1	1,94	111,03	96,9570	0,0195	0,0024	198,0780	12,6758
2	3,45	128,90	133,244	0,0119	0,0006	18,8873	3,3716
3	1,83	120,31	93,6688	0,0278	0,0098	709,6197	22,1422
4	2,78	112,54	118,348	0,0003	0,0010	33,6965	5,1579
…	…	…	…	…	…	…	…
25	2,27	105,62	105,791	0,0051	0,0001	0,0287	0,1604
Итого	41,5	1812,7	1755,44	0,1802	0,1721	14464,83	280,9564
Сред.	2,77	120,85	117,029	х	х	х	18,7304

Следовательно, вариация валового дохода отрасли растениеводства на 30% объясняется вариацией затрат труда в растениеводстве, а остальные 70% вариации валового дохода отрасли обусловлены изменением других, не учтенных в модели факторов.

Средняя ошибка аппроксимации равна 18,7%. т.е. в среднем расчетные значения валового дохода отрасли растениеводства, приходящийся на 100 га пашни, отличаются от фактических на 18,7%, что не входит в допустимый предел. Данная модель имеет наименьшую ошибку аппроксимации.

Оценим модель через F-критерий Фишера. Выдвинем H₀ о статистической незначимости полученного уравнения регрессии и показателя тесноты связи.

Сравним фактическое значение F-критерия с табличным. Для этого выпишем из таблицы «Значения F-Фишера при уровне значимости α=0,05» табличное значение.

Так как F_факт>F_табл , то при заданном уровне вероятности α=0,05 следует отвергнуть нулевую гипотезу о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи.

Полученные оценки позволяют использовать данное уравнение для прогноза.

8. Выберем наиболее подходящую для прогнозирования модель.

Линейная модель имеет наибольшее значение коэффициента детерминации. Кроме того, данная модель значима по F-критерию Фишера. Выполним прогнозирование размера величины валового дохода отрасли растениеводства по уравнению прямой линии.

Найдем прогнозное значение факторного признака, составляющего 125% от его среднего уровня:

Выполним прогноз значения результативного признака (точечный прогноз):

Оценим точность прогноза.

Рассчитаем случайную ошибку прогноза:

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, рассчитывается следующим образом:

С вероятностью 95% можно утверждать, что прогнозируемое значение результативного признака находится в пределах:

22,8786<Y_p<266,2452

Выполненный прогноз Валового дохода оказался надежным (p = 1-α = 1-0,005 = 0,95), но неточным, так как диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала составляет 11,6 раза: = 233.35/162.15=11,6.