Описание методов устранения или уменьшения мультиколлинеарности:

• Сравнение значений линейных коэффициентов корреляции: при отборе факторов предпочтение отдается тому фактору, который более тесно, чем другие факторы, связан с результативным признаком, причем желательно, чтобы связь данного факторного признака с y была выше, чем его связь с другим факторным признаком, т.е.

> , > и <0,8

• Метод включения факторов: метод заключается в том, что в модель включаются факторы по одному в определенной последовательности. На первом шаге в модель вводится тот фактор, который имеет наибольший коэффициент корреляции с зависимой переменной.

На втором и последующих шагах в модель включается фактор, который имеет наибольший коэффициент корреляции с остатками модели.

После включения каждого фактора в модель рассчитывают ее характеристики и модель проверяют на достоверность.

Построение модели заканчивается, если модель перестает удовлетворять условиям (например, k <n/3, S_ε,k-1 - S_ε,k > l, где n – число наблюдений; k – число факторных признаков, включаемых в модель; l – некоторое заданное малое число; S_ε,k- среднеквадратическая ошибка; S_ε,k-1 – среднеквадратическая ошибка модели, полученная на предыдущем шаге и включающая k-1 переменных).

• Метод исключения факторов: метод состоит в том, в модель включаются все факторы. Затем после построения уравнения регрессии из модели исключается фактор, коэффициент при котором незначим и имеет наименьшее значение t-критерия. После этого получают новое уравнение регрессии и снова проводят оценку значимости всех оставшихся коэффициентов регрессии.

Процесс исключения факторов продолжается до тех пор, пока модель не станет удовлетворять определенным условиям и все коэффициенты регрессии не будут значимы.

2. Уравнение многофакторной регрессии, его построение и интерпретация

Как и в парной зависимости возможны различные виды множественной регрессии: линейные и нелинейные. В виду четной интерпретации параметров наиболее широко используются линейная и степенные функции.

В уравнении множественной регрессии:

Коэффициенты при х называются коэффициентами « условно чистой» регрессии. Они показывают среднее изменение результата с изменением соответствующего фактора на единицу при неизменном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.

Коэффициенты «условно чистой» регрессии, (b_j) являются именованными числами, выраженными в различных единицах измерения (в тех же единицах, что и соответствующие им факторы). Поэтому они не сравнимы друг с другом, т.е. по их величине нельзя сделать вывод, какой из факторов в наибольшей степени влияет на результат.

Параметр а не подлежит экономической интерпретации.

Анализ уравнения регрессии и методика определения его параметров становятся более наглядными, а расчеты существенно упрощаются, если воспользоваться матричной формой записи этого уравнения. Так, уравнения вида

(4.6)

можно записать следующим образом:

,

где Y – вектор зависимой переменной размерности (n х 1), представляющий собой n наблюдений значений y_t.

X – матрица независимых переменных, элементы которой суть n x m наблюдения значений независимых переменных X_1, X_{2, …,} X_m размерность данной матрицы равна (n x m);

α – подлежащий оцениванию вектор неизвестных параметров размерности (m х 1);

ε – вектор случайных отклонений (возмущений) размерности (n х 1).

Таким образом,

Х =

1 x11 .... x1m 1 x21 .... x2m .... .... .... .... 1 xn1 .... xnm

Уравнение (4.6) содержит значения неизвестных параметров α₀, α_1, α_{2, … ,} α_{m .} эти величины оцениваются на основе выборочных наблюдений, поэтому полученные расчетные показатели не являются истинными, а представляют собой лишь их статистические оценки. Модель линейной регрессии, в которой вместо истинных значений параметров представлены их оценки (а именно такие регрессии и применяются на практике), имеют вид:

(4.7)

где α – вектор оценок параметров;

ε – вектор «оцененных» отклонений регрессии, ε = Y – Xα – остатки регрессии;

– оценка значений Y, равная Xα.

Для оценивания неизвестного вектора параметров α воспользуемся методом наименьших квадратов (МНК). Формула для вычисления параметров регрессионного уравнения имеет вид:

α = (Х^ТХ)^-1Х^ТУ (4.8)

Можно воспользоваться и другим способом оценки неизвестных параметров регрессионного уравнения.

Для линейных моделей и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, строится следующая система нормальных уравнений, решение которых позволяет получить оценки параметров регрессии:

Для линейных уравнений и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, строится следующая система нормальных уравнений, решение которых позволяет получить оценки параметров регрессии:

(4.9)

для ее решения может быть применен метод определителей:

(4.10)

где - определитель системы.

- частные определители; которые получаются путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными левой части системы.

Другой вид уравнения множественной регрессии – уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:

(4.11)

где - стандартизованные переменные;

- стандартизованные коэффициенты регрессии.

Стандартизованные коэффициенты регрессии показывают, на сколько сигм изменится в среднем результат, если соответствующий фактор x_i изменится на 1 сигму при неизменном среднем уровне других факторов. В силу того, что все переменные заданы как центрированные и нормированные, стандартизованные коэффициенты регрессии сравнимы между собой. Сравнивая их друг с другом, можно ранжировать факторы по силе воздействия их на результат. Смысл стандартизированных коэффициентов β_j позволяет использовать их при отсеве факторов, т.е. из модели исключаются факторы с наименьшим значением β_j.

К уравнению множественной регрессии в стандартизованном масштабе применим МНК. Стандартизованные коэффициенты регрессии ( -коэффициенты) определяются из следующей системы уравнений:

(4.12)

Связь коэффициентов множественной регрессии b_i со стандартизованными коэффициентами описывается соотношением:

(4.13)

Параметр a определяется следующим образом:

(4.14)

Средние коэффициенты эластичности для линейной регрессии рассчитываются по формуле:

(4.15)

Средние показатели эластичности можно сравнивать друг с другом и соответственно ранжировать факторы по силе их воздействия на результат.

Для расчета частных коэффициентов эластичности применяются следующая формула:

(4.16)