Раздел 9. Переменные потоки платежей

9.1. Переменная рента с разовыми изменениями размера члена ренты

Поток последовательных платежей, члены которого не являются постоянными величинами, называется переменной рентой.

n – срок ренты;

;

– размер члена ренты в период τ_;

– процентная ставка, действующая в интервале τ_.

Наращенная сумма ренты-пренумерандо будет:

.

Современная величина годовой ренты-пренумерандо есть:

.

Наращенная сумма ренты-постнумерандо будет:

.

Современная величина годовой ренты-постнумерандо есть:

.

9.2. Переменная рента с постоянным абсолютным изменением ее членов

1. Рента-постнумерандо.

Каждый последующий член больше предшествующего на постоянную величину d (члены ренты изменяются согласно арифметической прогрессии).

Процесс наращения величин платежей переменной ренты с постоянным абсолютным изменением ее членов представлен в табл. 35.

Таблица 35

Наращенные величины платежей переменной ренты-постнумерандо с постоянным абсолютным изменением ее членов

Порядковый номер платежа	Величина платежа	Наращенная сумма платежа
1
2
3
...	…	…
n-1
n

Наращенная сумма переменной ренты с постоянным абсолютным изменением ее членов будет:

.

Обозначим: , тогда

.

Т.к. ,

.

Тогда

.

Сделаем следующие преобразования

,

,

.

Тогда

– наращенная сумма.

Если члены ренты не увеличиваются, а уменьшаются на постоянную величину d, следовательно, наращенная сумма есть:

.

2. Рента-пренумерандо.

Процесс наращения членов переменной ренты-пренумерандо с постоянным абсолютным изменением ее членов представлен в табл. 36.

Таблица 36

Наращенные величины платежей переменной ренты-пренумерандо с постоянным абсолютным изменением ее членов

Порядковый номер взноса	Величина взноса	Наращенная величина взноса
1
2
…	…	…
n-1
n

Наращенная сумма переменной ренты-пренумерандо с постоянным абсолютным изменением ее членов будет:

Обозначим , тогда

;

;

;

.

Современная величина переменной ренты с постоянным абсолютным изменением ее членов будет определяется из уравнения:

, то , то

1. рента-постнумерандо:

;

2. рента-пренумерандо:

.

Размер первого платежа R будет:

1. рента-постнумерандо

;

2. рента-пренумерандо

.

Величина абсолютного прироста есть:

1. рента-постнумерандо

;

2. рента-пренумерандо

.

9.3. Ренты с постоянным относительным изменением платежей

Платежи вносятся n лет в конце года. Каждый последующий член больше предыдущего в q раз, т.е. члены ренты изменяются в геометрической прогрессии. В конце года начисляются сложные проценты по ставке i.

R – первый член ренты.

Процесс наращения ренты-постнумерандо с постоянным относительным изменением платежа представлен в табл. 37.

Таблица 37

Наращенные величины платежей ренты-постнумерандо с постоянным относительным изменением платежей

Порядковый номер взноса	Величина взноса	Наращенная величина взноса
1
2
…	…	…
n-1
n

Наращенная сумма ренты-постнумерандо с постоянным относительным изменением платежа будет:

.

, – первый член и знаменатель геометрической прогрессии соответственно, тогда

.

Современная величина ренты-постнумерандо с постоянным относительным изменением платежей будет:

.

Процесс наращения ренты-пренумерандо с постоянным относительным изменением платежа представлен в табл. 38.

Таблица 38