Раздел 3. Непрерывные проценты

3.1. Наращение по непрерывным процентным ставкам

Если начисление процентов или дисконтирование производятся настолько часто, то этот процесс можно рассматривать как непрерывный. Суть непрерывных процентов заключаются в том, что количество периодов наращения или дисконтирования стремится к бесконечности, а временной интервал между ними – к нулю.

Силой роста называется относительный прирост наращенной суммы в бесконечно малом промежутке времени:

Сила роста может быть постоянной или переменной.

1. Постоянная сила роста

При использовании дискретной номинальной процентной ставки наращенная сумма определяется как:

С учетом определения непрерывных процентов, получаем:

Так как – второй «замечательный» предел.

– наращение по непрерывной ставке ;

– множитель наращения по непрерывной процентной ставке .

Определим современную величину S на основе известной величины S:

где = – сила дисконта – непрерывная дисконтная ставка.

2. Переменная сила роста

С помощью этого параметра моделируются процессы наращения с изменяющейся процентной ставкой:

– функция от времени.

Наращенная сумма по переменной непрерывной процентной ставке определяется как:

,

где – множитель наращения по непрерывной переменной процентной ставке;

– современная величина,

где – множитель дисконтирования по непрерывной переменной ставке.

Рассмотрим некоторые виды изменения непрерывной процентной ставки.

1. Сила роста изменяется дискретно, т.е. принимает значение _l в интервале времени τ_l (см. рис. 14).

Процесс наращения по непрерывной дискретно изменяющейся процентной ставке представлен в таблице 10.

Таблица 10

Наращение по непрерывной дискретно изменяющейся процентной ставке

Период	Наращенная сумма к концу периода
0	S
1
2
3
…	…
k

– наращение по непрерывной дискретно изменяющейся процентной ставке;

– множитель наращения по непрерывной дискретно изменяющейся процентной ставке.

Средней величиной силы роста называется величина, определяемая как:

.

Тогда .

2. Сила роста непрерывно изменяется во времени и описывается линейным уравнением:

,

где ₀ – начальная сила роста (при t=0);

 – годовой прирост (снижение), может быть больше или меньше нуля.

Так как , возьмем следующий интеграл:

.

Тогда – наращение по непрерывной ставке, изменяющейся во времени по линейному закону;

– множитель наращения по непрерывной процентной ставке, изменяющейся по линейному закону.

3. Сила роста непрерывно изменяется по геометрической прогрессии.

, где

₀ – начальная сила роста;

 – годовой коэффициент роста (знаменатель геометрической прогрессии).

Тогда ;

– наращение по непрерывной процентной ставке, изменяющейся в геометрической прогрессии;

– множитель наращения по непрерывной процентной ставке, изменяющейся в геометрической прогрессии.