2.2.2 Структурные схемы мм лдс и их преобразование

При использовании методов комплексной области, ММ ЛДС записываются относительно изображений переменных по Лапласу. Графическое представление такой ММ в виде структурной схемы имеет вид некоторого соединения ЛДЗ с входами u_i(p) и выходами y_i(p). Для каждого из них оператор преобразования в комплексной области A_p задается в явном виде передаточной функцией W_i(p): y_i(p)=A_p{u_i(p)}=W_i(p)u_i(p) (часто формально полагают, что A_p=W_i(p)). При этом конфигурация структурной схемы может оказаться произвольно сложной, тогда как методы анализа и синтеза всегда предполагают некоторый общепринятый (канонический) ее вид. Это могут быть, например, тривиальная структура с одним звеном; структура с единичной отрицательной обратной связью и др. При этом возникает задача приведения исходной структурной схемы к требуемому виду.

Решить эту задачу можно различными способами: а) аналитический метод; б) метод эквивалентных структурных преобразований; в) комбинированный метод.

Аналитический метод основан на исключении всех промежуточных переменных в составе ММ, которых нет в требуемой структуре. Например, для получения тривиальной структуры с одним звеном нужно оставить в ММ только изображения входной и выходной переменных.

Структурный метод основан на эквивалентных преобразованиях исходной структурной схемы, выполняемых за несколько шагов, на каждом из которых происходит изменение конфигурации схемы в нужном направлении. При этом на каждом шаге применяют правила эквивалентной замены некоторого фрагмента схемы другим фрагментом, а критерием эквивалентности является равенство передаточных функций для исходного и преобразованного фрагментов.

Обычно используют следующие 3 основных и 3 дополнительных правила:

1) последовательное (каскадное) соединение (рис.1, а) n ЛДЗ (выход первого является входом второго и т.д.) эквивалентно звену с передаточной функцией, равной произведению передаточных функций всех звеньев этого соединения: W_э(p)=W_n(p) W_n–1(p)…W₁(p). В одномерном случае порядок расположения множителей может быть любым.

2) параллельное соединение (рис.1, б) n ЛДЗ (вход общий, а выходы всех суммируются) эквивалентно звену с передаточной функцией, равной сумме передаточных функций всех звеньев этого соединения W_э(p)=W_n(p)+W_n-1(p)+…+W₁(p). Порядок суммирования может быть любым.

3) встречно-параллельное соединение (с обратной связью) двух звеньев с передаточными функциями W₁(p) и W₂(p). Записав уравнения для этого вида соединения по схеме рис. 1, в) и исключив промежуточные переменные E(p) и Y₂(p), получим передаточную функцию эквивалентного звена в следующем виде Ф(p)=W₁(p)[1 W₁(p)W₂(p)]^–1. В частном случае, когда W₂(p)=1 и обратная связь отрицательная (нижний знак!), эта формула примет вид Ф(p)=W₁(p)[1+W₁(p)]^–1. Для соединения многомерных звеньев у этой формулы есть несколько вариантов.

а) последовательное; б) параллельное; в) встречно-параллельное

Рис.1– Типовые соединения ЛДЗ

4) Правило эквивалентного переноса входа сумматора через ЛДЗ с W(p):

а) с входа ЛДЗ на его выход: в переносимый вход сумматора добавляется звено с передаточной функцией W_э(p)=W(p). При этом недопустим перенос через неустойчивое звено;

б) с выхода ЛДЗ на его вход: в переносимый вход сумматора добавляется звено с передаточной функцией W_э(p)=W^–1(p). При этом недопустим перенос через звено, имеющие нули передаточной функции в правой полуплоскости;

5) Правило эквивалентного переноса точки (узла) ветвления через ЛДЗ с W(p):

а) с входа ЛДЗ на его выход: в переносимую ветвь добавляется звено с передаточной функцией W_э(p) = W^–1(p). При этом недопустим перенос через звено, имеющие нули в правой полуплоскости;

б) с выхода ЛДЗ на его вход: в переносимую ветвь добавляется звено с передаточной функцией W_э(p)=W(p). При этом недопустим перенос через неустойчивое звено;

6) изменение числа и порядка следования сумматоров и узлов ветвления:

а) последовательно расположенные сумматоры можно менять местами; объединять в один с большим числом входов, а один сумматор с числом входов больше двух разбивать (расщеплять) на несколько соединенных последовательно сумматоров;

б) последовательно расположенные узлы ветвления можно менять местами, объединять или разбивать (расщеплять) на большее их число.

Применение правил 4 – 6 помогает выделить типовые соединения в сложной структуре с последующей их заменой эквивалентным звеном.

Во многих случаях конечный результат преобразований получается быстрее и проще, если на некотором промежуточном этапе структурный метод применять в комбинации с аналитическим методом. Рассмотрим применение этих методов на двух примерах различного уровня сложности.

Пример 1. Соединение двух ЛДЗ с передаточными функциями W₁(p) и W₂(p) (см.рис.2, а). Требуется получить передаточные функции W_yx (p) и W_zx (p).

Решение: Из исходной схемы а) в результате переноса сумматора с выхода первого звена на вход (правило 4, б) и изменения порядка следования сумматоров (правило 6, а) получим схему б) в которой присутствуют только типовые соединения. Применяя соответствующие правила для их эквивалентной замены, получим:

W_yx(p)={W₁/(1–W₁)}(1+W₂/W₁) = (W₂+W₁)/(1–W₁).

А так как Z(p)=X(p)+Y(p), то W_zx (p)=1+ W_yx(p)=(1+W₁)/(1–W₁).

Рис.2

Пример 2. Соединение произвольного вида из n ЛДЗ с передаточными функциями W_i(p) и безынерционными линейными взаимными связями (см. рис.3). Требуется получить передаточную функции W_yx (p).

Рис.3

Для этого соединения запишем следующие соотношения между переменными:

y_i(p)=W_i(p)u_i(p); u_i(p)=(R_ij)^yy_j (p)+R_i^xX(p); Y(p)=S_i^yy_i(p) +S_xX(p).

Перейдем здесь к векторно-матричным обозначениям:

y*(p) = (y₁,y₂,…y_n); u*(p) = (u₁,u₂,…u_n); W*(p) = diag{W_i(p)};

R_y={(R_ij)^y}; R_x={R_i^x}; S_y = {S_i^y}.

Тогда уравнения запишутся более компактно:

y*(p) = W*(p) u*(p); u*(p) = R_y y*(p)+ R_x X(p); Y(p)= S_y y*(p)+ S_xX(p).

Этим уравнениям соответствует следующая структурная схема (рис.4):

Рис. 4

Такое представление является общим для любой линейной системы, и поэтому его называют унифицированной структурной схемой. Для разных систем в этой структуре будут другими только матрицы связей R_x, R_y, S_x, R_y и матрица W*(p).

Применяя правила эквивалентной замены типовых соединений, запишем передаточную функцию для унифицированной структуры:

W_yx(p)=S_x + [E– W*(p)R_y]^–1W*(p)R_x.

Из этой формулы следует, что полюсами передаточной функции W_yx(p) будут корни следующего (характеристического) уравнения det[E– W*(p)R_y]=0. Если все передаточные функции звеньев W_i(p)=B_i(p)/A_i(p), то его можно записать в эквивалентном виде:

det[A*(p)– B*(p)R_y]=0,

где B*(p)=diag{B_i(p)} и A*(p)={A_i(p)} – полиномиальные диагональные матрицы.

Полученные здесь формулы удобны для компьютерных вычислений с помощью математических пакетов, приспособленных для выполнения матричных преобразований. Исходные данные для расчетов могут быть записаны непосредственно по структурной схеме сложного соединения ЛДЗ. Матрицы связей R_x, R_y, S_x, R_y являются клетками таблицы связей следующего вида

	X	y*
u*	Rx	Ry
Y	Sx	Sy

Так, например, для схемы, изображенной на рис.2, эти матрицы будут иметь вид

R_x= ; R_y= ; S_y= ; S_x=0.