2.3.2 Виды и свойства частотных характеристик лдз

Как всякое комплексное число, частотную передаточную функцию W(j) можно представить в показательной и алгебраической форме:

W(j)=M()e^j()=P()+jQ().

Соответственно этому различают следующие виды зависимостей от частоты  (частотные характеристики):

а) M() = Mod W(j)=|W(j)| – амплитудно-частотная (АЧХ);

б) () = arg W(j)  фазовая частотная (ФЧХ);

в) P() – вещественная частотная характеристика (ВЧХ);

г) Q() – мнимая частотная характеристика (МЧХ).

Обычно в инженерных приложениях рассматриваются не формулы, а графики этих зависимостей. При этом график функции W(j) в комплексной плоскости при изменении частоты  называют амлитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) или годографом частотной передаточной функции.

При построении графиков ЧХ можно использовать либо обычный (линейный), либо логарифмический масштаб по осям координат. Особенно это удобно при построении АЧХ. Логарифмические амплитудно-частотные характеристики (ЛАХ) строят в координатах: ось абсцисс – lg ;ось ординат – L _w() = 20lg M(). При этом изменению частоты  в 10 раз соответствует 1 декада, а изменению M() в 10 раз – 20 децибелл (дБ). Это позволяет графически отображать большой диапазон изменения частоты и модуля M(), а сами графики становятся более плавными и хорошо аппроксимируются линейными отрезками с типовыми наклонами, кратными 20 дБ/дек. Логарифмические фазо-частотные характеристики (ЛФХ) строятся в координатах: lg ось абсцисс) и  _w () (ось ординат).

ЛЧХ удобно использовать для построения частотных характеристик (ЧХ) типовых ЛДЗ и их последовательного соединения, а также при синтезе САР.

Перейдем к рассмотрению свойств ЧХ ЛДЗ. Большинство из них повторяют свойства комплексных чисел, но есть и несколько специфичных свойств.

1. АЧХ и ВЧХ – четные функции  и их графики симметричны относительно оси ординат;

2. ФЧХ и МЧХ – нечетные функции  и их графики симметричны относительно начала координат;

3. Если W₂(j)=1/W₁(j), то M₂()=1/M₁(; ₂()= ₁(;L₂()= L₁(;

4. Если W₂(j)=W₁(j), то M₂()=M₁(; ₂()= ₁(;L₂()=L₁(;

5. Если W(j)=W_i(j), то L_w()=L_i(); _w()=_i(;

6. Если ЛДЗ устойчиво (все полюса W(p) левые), то ВЧХ и МЧХ связаны между собой преобразованием Гильберта

Это означает, что ВЧХ (или МЧХ) полностью определяет все динамические свойства и особенности устойчивого ЛДЗ. В частности, временные характеристики (переходная и весовая функции) связаны с ВЧХ формулами:

.

Для доказательства этих равенств используется формула обратного преобразования Лапласа при значении абсциссы сходимости равной нулю:

.

С учетом условия физической реализуемости, можно записать, что при t0

=0,

7. Если ЛДЗ минимально-фазовое (нули и полюса W(p) лежат слева от мнимой оси), то АЧХ и ФЧХ будут связаны между собой формулами вида:

.

Это означает, что все динамические свойства такого звена полностью определяются его амплитудно-частотной характеристикой M().

Убедимся в справедливости этих равенств, полагая W(p)=B(p)/A(p). Для этого рассмотрим функцию G(p)=lnW(p)= lnB(p)–lnA(p). Полюса G(p) совпадают с корнями полиномов B(p) и A(p). Если все эти корни левые, то будут левыми и полюса G(p). Поэтому для вещественной и мнимой частей функции G(j) = lnW(j) справедливы формулы преобразования Гильберта.

Но так как W(j)=M()e^j(), то G(j) = lnW(j) = lnM()+j() и отсюда следует справедливость приведенных выше формул.

Таким образом, между АЧХ и ФЧХ минимально-фазового звена существует взаимно однозначное соответствие и для изучения его свойств достаточно рассматривать, например, только амплитудно-частотные характеристики. Это свойство особенно удобно использовать при синтезе САР частотными методами.