1.2.1. Пример составления мм

Рассмотрим электромеханическое устройство, состоящее из катушки индуктивности, сердечника из магнитного материала и пружины (рис. 1.4). Оно служит для преобразования электрического напряжения u(t) в линейное перемещение x(t) и может выполнять функции простейшего исполнительного устройства, или быть частью электрогидравлического усилителя.

Рис. 1.4

Математическая модель устройства состоит из уравнения а), описывающего электрическую часть; уравнения б) для механической части и выражения в), устанавливающего взаимосвязь этих частей:

а) ; б) ; в) . (1)

Уравнения получены при следующих упрощающих предположениях: магнитная система устройства не насыщена и сухое трение отсутствует.

Для получения ММ в форме уравнения вход-выход нужно исключить промежуточные переменные i(t) и F(t). При этом уравнение, связывающее входную и выходную переменные, будет иметь вид линейного дифференциального уравнения третьего порядка:

, (2)

где .

Для получения ММ устройства в форме уравнений состояния, дополнительно вводятся новые переменные x₁= x x₂ = ; x₃ = . Тогда система уравнений относительно новых переменных запишется в виде

(3)

Эта форма записи и является уравнениями состояния устройства, которые в случае линейной ММ обычно записывают в стандартном векторно-матричном виде:

(4)

Здесь x=(x₁, x₂, x₃)  вектор состояния, у=x – выход; А, В, С, D – матрицы, элементы которых зависят от коэффициентов уравнений (1), (2):

; ; ; D=0. (5)

Как исходные уравнения (1), так и уравнения состояния (3) можно отобразить графически в виде соответствующих им структурных схем.

1.3 Линеаризация нелинейных мм

Линеаризация является наиболее распространенным способом понижения уровня сложности ММ и служит основой применения линейной теории.

Суть любой линеаризации состоит в приближенной замене исходной нелинейной зависимости (нелинейности) некоторой линейной зависимостью в соответствии с определенным условием (критерием) эквивалентности. Среди возможных методов чаще всего применяют метод касательных (линеаризация в малой окрестности заданной точки). Этот метод не зависит от вида преобразуемых сигналов и может одинаково успешно использоваться для разных типов нелинейностей, которые могут быть одномерными и многомерными; безынерционными (статическими) и динамическими.

Безынерционные нелинейности устанавливают функциональную зависимость между значениями входа u(t) и выхода y(t) в один и тот же текущий момент времени t и могут задаваться либо явно (формулами, графиками, таблицами), либо неявно (алгебраическими уравнениями). На структурных схемах им соответствуют безынерционные (без памяти) нелинейные звенья.

Динамические нелинейности описываются математически нелинейными дифференциальными уравнениями и на структурных схемах им соответствуют нелинейные динамические звенья. При этом значения выхода y(t) в текущий момент времени t зависят не только от значений входа в этот же момент времени, но и от производных, интегралов или каких либо других значений.

Математической основой метода касательных является разложение нелинейной функции в ряд Тейлора в малой окрестности некоторой «точки линеаризации» с последующим отбрасыванием нелинейных слагаемых, содержащих степени отклонений переменных (приращений) выше первой.

Суть метода рассмотрим на частных случаях с последующими обобщениями.

1) Пусть y = F(u)  явно заданная одномерная безынерционная нелинейность, гладкая и непрерывная в окрестности некоторой точки u=u*. Полагая, u=u*+u; y=y*+y, где y*=F(u*), запишем ряд Тейлора для этой функции в виде:

(1)

Отбрасывая слагаемые более высокого порядка малости, и оставляя только слагаемые, содержащие u в первой степени, получим приближенное равенство

. (2)

Это выражение приближенно описывает взаимосвязь малых приращений y и u в виде линейной зависимости и является результатом линеаризации в рассматриваемом случае. Здесь К имеет геометрический смысл углового коэффициента наклона касательной к графику функции в точке с координатой u=u*.

В случае многомерной нелинейности y=F(u), когда y={y_i}, F={F_i} и u={u_j}– векторы, аналогично получим, что y=Ku. Здесь K={K_ij}- матричный коэффициент, элементы которого K_ij определяются как значения частных производных функций F_i по переменным u_j, вычисленных в «точке» u=u*.

2. Пусть безынерционная нелинейность задана неявно с помощью алгебраического уравнения F(y,u)=0. Необходимо линеаризовать эту нелинейность в малой окрестности некоторого известного частного решения (u*, y*) в предположении того, что все нелинейные функции F_i в составе F непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности. Выполнив разложение этой вектор-функции в ряд Тейлора и, отбросив слагаемые второго и выше порядков малости, получим линейное уравнение первого приближения:

, (3)

где y=y–y*; u=u–u*;  матрицы частных производных, вычисленные в точке линеаризации.

3. Пусть одномерная динамическая нелинейность задана дифференциальным уравнением «вход-выход» n-го порядка:

F(y, y⁽¹⁾, …, y⁽ⁿ⁾, u, u⁽¹⁾, …u^(m))=0. (4)

Линеаризуем эту нелинейность методом касательных в малой окрестности известного частного решения этого уравнения y*(t), соответствующего заданному входу u*(t). Производные по времени соответствующих порядков от y*(t) и u*(t) также предполагаются известными.

Предполагая функцию F непрерывно-дифференцируемой по всем своим аргументам и следуя рассмотренной выше общей методике (разложение в ряд и учет только линейных относительно приращений аргументов слагаемых), запишем линейное уравнение первого приближения для нелинейного уравнения:

(5)

Здесь символ (*) означает, что частные производные определены при значениях переменных и их производных, соответствующих частному решению (y*(t), u*(t)). В общем случае их значения (коэффициенты уравнения) будут зависеть от времени и линеаризованная модель будет нестационарной. Но если частное решение соответствует статическому режиму, то эти коэффициенты будут постоянными.

Для удобства и краткости записи, введем следующие обозначения:

= a_i; = b_i; y⁽ⁱ⁾=Dⁱy; u⁽ⁱ⁾=Dⁱu; D=d/dt.

Тогда линеаризованное уравнение (5) запишется в краткой операторной форме:

A(D)y(t)=B(D)u(t),

где A(D) – полином степени n относительно оператора дифференцирования D;

B(D) – аналогичный операторный полином m-ой степени.

4. Пусть многомерная динамическая нелинейность задана нелинейными уравнениями состояния вида

(6)

Аналогично предыдущим случаям, линеаризуем эту нелинейность методом касательных в малой окрестности известного частного решения (x*, y*), соответствующего заданному входу u*(t). При этом уравнения первого приближения будут иметь следующий вид:

(7)

где - матрицы соответствующих размеров. Их элементы в общем случае будут функциями времени, но если частное решение соответствует статическому режиму, то они будут постоянны.

Сделаем заключительные замечания о применении метода касательных при линеаризации ММ всей САР, представляющей собой совокупность описаний взаимодействующих между собой конструктивных блоков.

1. «опорный режим» (*), относительно которого выполняется линеаризация, рассчитывается для всей системы по ее полной (нелинейной) ММ. Для расчета могут использоваться как графические, так и численные (компьютерные) методы. При этом коэффициенты всех линеаризованных уравнений и функциональных зависимостей будут зависеть от выбранных точек линеаризации;

2. все нелинейные зависимости ММ должны быть непрерывными и непрерывно дифференцируемыми (гладкими) в малой окрестности режима (*);

3. отклонения переменных от их значений в опорном режиме должны быть достаточно малыми; для САР и У это требование вполне согласуется с целью управления – регулированием значений управляемых переменных в соответствии с предписанными законами их изменения;

4. для линейных уравнений в составе ММ линеаризация состоит в формальной замене всех переменных на их отклонения (приращения);

5. для получения линеаризованной ММ всей системы в стандартном виде, например в форме уравнений состояния, следует сначала проводить линеаризацию каждого из уравнений в составе ММ. Это будет намного проще и быстрее, чем попытка получения нелинейной ММ системы в стандартном виде с последующей ее линеаризацией;

6. при соблюдении всех условий применения метода касательных, свойства линеаризованной ММ дают объективное представление о локальных свойствах нелинейной ММ в малой окрестности опорного режима. Этот факт имеет строгое математическое обоснование в виде теорем Ляпунова (первый метод) и является теоретической базой для практического применения линейной теории управления.