2.2.1 Преобразование Лапласа и его основные свойства

Переход из временной в комплексную область для функций непрерывного аргумента (времени t) осуществляется по формуле:

£{f(t)}= .

При ограничении на скорость роста функции оригинала f(t), этот несобственный интеграл сходится к аналитической функции комплексной переменной F(p), называемой изображением. Обычно F(p) имеет дробно-рациональный вид (отношения двух полиномов), для которого корни числителя называются нулями, а корни знаменателя  полюсами.

Фрагмент таблицы соответствий оригиналов и изображений для некоторых функций приводится ниже.

Таблица 1 – Соответствие оригиналов и изображений

Оригинал f(t), t0	Изображение F(p) = £{f(t)}	Примечание
(t)	1
1(t)
t
sin t
cos t
sin t
cos t

Преобразование Лапласа имеет ряд полезных свойств, которые существенно упрощают исследование линейных динамических звеньев и систем.

Основные свойства преобразования Лапласа

1) Линейность: ;

2) Изображение производных:  (при нулевых начальных значениях для функции и производных: f(0)= f⁽¹⁾(0)=…= f^(i–1)(0)=0);

3) Изображение интегралов: ;

4) Изображение свертки двух функций времени: f₁(t)f₂(t)F₁(p)F₂(p);

5) Если при t f(t) 0, то все полюса F(p) лежат в левой полуплоскости;

6) Если f(t) не имеет разрывов второго рода (бесконечных скачков, описываемых -функциями и их производными), то порядок числителя F(p) меньше порядка его знаменателя (m < n).

7) Начальное и конечное (если существует!) значения функции оригинала:

8) Смещение во временной области: f(t–)  F(p)e^–p;

9) Смещение в комплексной области: f(t)e^–t F(p+);

10) Определение оригинала f(t) по изображению F(p):

, где p_i – полюса выражения F(p).

Напомним, что вычет в некратном полюсе p_i вычисляется по формуле

.

Применим эти свойства для изучения ЛДЗ и ЛДС.

А) Пусть для ЛДЗ известна весовая функция w(t), звено находится в покое и на его при t=0 подается сигнал u(t). Тогда y(t)=w(t)u(t) и по свойству 4 получим, что y(p)=W(p)u(p), где W(p)=£{w(t)}. Этот множитель выполняет функцию коэффициента передачи ЛДЗ в комплексной области, который связывает изображения входа и выхода. Его принято называть передаточной функцией ЛДЗ. В соответствии с этим, можно дать другое, но эквивалентное определение для W(p) как отношение изображений Лапласа выхода y(p) и входа u(p) при нулевых начальных условиях. Отметим, что (свойство 5) для устойчивого ЛДЗ все полюса W(p) должны быть «левыми», т.к. только в этом случае w(t) будет затухать до нуля.

Б) Пусть оператор преобразования ЛДЗ задан уравнением «вход-выход»:

A(D)y(t)=B(D)u(t),

где A(D) = a₀+a₁D+a₂D²+…+a_nDⁿ, B(D) = b₀+b₁D+b₂D² +…+b_mD^m, D=d/dt.

Преобразуя по Лапласу (при нулевых начальных условиях!) обе части этого уравнения и используя свойства 1 и 2, получим

A(p)y(p)=B(p)u(p),

где A(p) = a₀+a₁p+a₂p²+…+a_npⁿ, B(p) = b₀+b₁p+b₂p² +…+b_mp^m. Отсюда следует, что y(p)=A^-1(p)B(p)u(p)=W(p)u(p), где W(p)=B(p)/A(p) – передаточная функция ЛДЗ.

Таким образом, передаточную функцию ЛДЗ можно определить и как отношение операторных полиномов правой и левой частей уравнения «вход-выход», если заменить в них символа оператора дифференцирования D на комплексную переменную p. Заметим, что в знаменателе выражения для W(p) в этом случае будет характеристический полином A(p), корни которого p_i определяют свойство устойчивости ЛДЗ. Для устойчивого звена все p_i должны быть «левыми».

Поскольку y(p) = B(p)/A(p)u(p), то полюса y(p) можно разделить на две группы: p_i – полюса передаточной функции и p_j – полюса изображения входа u(p). Тогда

.

Таким образом, реакция линейного динамического звена на некоторое входное воздействие u(t) может быть представлена суммой переходной y_п(t) и вынужденной составляющей y_в(t). Для устойчивого звена y_п(t) асимптотически затухает, а полная реакция y (t) стремится к вынужденной составляющей y_в(t).

Передаточная функция W(p) позволяет сформулировать условие физической осуществимости ЛДЗ и его оператора A_t в более простом, чем ранее виде. Обозначим m = deg B(p) – порядок числителя, а deg B(p) – порядок знаменателя в W(p). Тогда изображение переходной функции h(p) будет иметь порядки числителя и знаменателя, соответственно m и n+1. Для физической осуществимости ЛДЗ (см. свойство 6) требуется, чтобы m < n+1 или более кратко, m  n.

С передаточной функцией ЛДЗ связаны понятия минимальной и не минимальной фазовости. Для минимально-фазового звена все нули и полюса передаточной функции располагаются слева от мнимой оси. В противном случае ЛДЗ называется неминимально-фазовым. Сюда, в частности, относятся неустойчивые звенья.

В) Пусть оператор преобразования ЛДЗ задан уравнениями состояния:

, при условии x(0)=0.

Применяя преобразование Лапласа к этим выражениям, получим:

px(p)=Ax(p)+Bu(p); y(p)=Cx(p)+du(p).

Исключив x(p), найдем связь u(p) и y(p) в виде формулы

y(p) = {C[pE–A]^–1B +d}u(p) = W(p)u(p),

где W(p) = C[pE–A]^–1B +d – передаточная функция ЛДЗ.

Из последнего выражения следует, что полюса W(p) будут представлены корнями уравнения det(pE–A)=0, т.е. собственными значениями матрицы A. При этом часть полюсов W(p) может совпадать с корнями ее числителя (нулями). В подобных случаях пары «нуль – полюс» (диполи) «компенсируют» друг друга в реакциях звена, находящегося в покое, на любые внешние воздействия. Это относится и к весовой, и к переходной функции ЛДЗ. Но полюса, входящие в диполи, будут влиять на характер свободного движения в ЛДЗ за счет ненулевых начальных условий, а значит и на его устойчивость. Для таких ЛДЗ передаточная функция, а также весовая и переходная функции, характеризуют полностью только управляемую и наблюдаемую часть его ММ.