2.1.1 Временные характеристики лдз и его оператора преобразования

Важной особенностью ЛДЗ является то, что их свойства полностью проявляются (а значит и могут быть изучены!) в их реакциях на простейшие виды типовых входных воздействий таких как а) импульсная -функция и б) единичная ступенчатая функция:

а) u(t)= при условии ;

б) u(t)= ; при этом и (формально!) .

Поскольку реакция звена на любое воздействие зависит от состояния звена в момент подачи воздействия на него, то (для определенности) при изучении свойств ЛДЗ по их временным характеристикам полагают, что до подачи воздействий ЛДЗ находилось в состоянии покоя. Это соответствует нулевым начальным условиям для выхода звена и для его производных.

Весовая функция ЛДЗ w(t). Это реакция находящегося в покое линейного звена на импульсное воздействие в виде -функции: w(t)=A_t{(t)}.

 Для физически реализуемого звена w(t)=0 при t<0. Это соответствует «физическому смыслу» весовой функции, т.к. реакция не может опережать во времени причину ее появления.

 По виду графика w(t) можно судить о характере процесса в ЛДЗ (колебательный, апериодический, затухающий, расходящийся); о времени и интенсивности его затухания; о максимальном отклонении процесса.

 Если w(t)0 при t∞, то ЛДЗ будет устойчивым (асимптотически), т.к. оно возвращается в первоначальное (нулевое) состояние после прекращения действия возмущения. Если условие затухания не выполняется, то ЛДЗ либо неустойчиво, либо находится на границе устойчивости.

 Весовая функция позволяет получить реакцию находящегося в покое ЛДЗ на произвольное внешнее воздействие u(t). Это следует из следующих соотношений.

Пусть y(t)=A_t{u(t)}, где u(t)= . Тогда y(t)=A_t{ }=

= (формула свертки).

Таким образом, весовая функция характеризует все основные собственные динамические и преобразовательные свойства ЛДЗ и с ее помощью оператор A_t задается явно в виде формулы свертки.

Переходная функция ЛДЗ h(t). Это реакция находящегося в покое линейного звена на воздействие в виде единичной ступенчатой функции: h(t)=A_t{1(t)}.

 Переходная функция ЛДЗ связана с его весовой функцией следующим образом: h(t)=A_t{1(t)} = A_t { }= . Отсюда следует .

В отличие от w(t), h(t) можно определить экспериментально.

 Для физически реализуемого звена h(t)=0 при t<0. Это соответствует ее физическому смыслу и принципу причинности.

 По виду графика h(t) можно судить о характере процесса в ЛДЗ; о времени и интенсивности его затухания; о максимальном отклонении (выбросе) процесса от установившегося значения и т.п.

 Если h(t)const при t∞, то ЛДЗ будет асимптотически устойчивым, т.к. при этом соответствующая весовая функция w(t) будет асимптотически стремиться к нулю. Если это условие устойчивости не выполняется, то ЛДЗ либо неустойчиво, либо находится на апериодической или на колебательной границе устойчивости.

 С переходной функцией связывают условие физической осуществимости, как требование отсутствия в h(t) разрывов второго рода (бесконечных «скачков». В этом случае ЛДЗ и его оператор A_t могут служить моделями некоторого реального звена, которое преобразует ограниченный по величине сигнал входа в выходной, тоже ограниченный сигнал.