7. Применение критерия Найквиста для анализа устойчивости лдс со сложной структурой

Для применения критерия устойчивости Найквиста в его традиционной форме структурная схема ЛДС должна быть преобразована к виду соединения с единичной обратной связью. При этом нужно знать не только передаточную функцию разомкнутого контура, но и число ее полюсов в правой полуплоскости.

Для многоконтурных и многосвязных систем, имеющих в своем составе много звеньев, решение этой задачи может вызывать большие трудности, т.к. требует выполнения плохо формализуемых структурных преобразований. Поэтому необходима специальная модификация частотного критерия, которая позволяла бы исследовать устойчивость ЛДС со сложной структурой взаимосвязей звеньев между собой без приведения ее к каноническому виду.

Рассмотрим ЛДС, образованную N звеньями с передаточными функциями W_i(p)=B_i(p)/A_i(p). Структура взаимосвязей звеньев между собой и с внешней средой (по входам и выходам) задается матрицами R_y, R_x, S_y, S_x. Как было получено ранее, передаточная матрица (функция) такой ЛДС определяется формулой:

W(p) = S_y [EW*(p)*R_y]^–1 W*(p)R_x + S_x,

где W*(p)=diag{B_i(p)/A_i(p)}  диагональная матрица.

Для такой системы будем рассматривать матрицу возвратных разностей Q(p)=[E–W*(p)R_y] и ее определитель H(p):

H(p)=det Q(p) = det{E–[A*(p)]^–1 B*(p) R_y]},

где A*(p) и B*(p) – диагональные полиномиальные матрицы, элементами которых являются, соответственно, полиномы знаменателей и числителей передаточных функций отдельных звеньев.

Тогда, используя свойства определителей для обратной матрицы и для произведения матриц, получим формулу

H(p)=det(A*(p)–B*(p) R_y)/det A*(p) =_зам(p)/_раз(p).

Числителем этого выражения является характеристический полином _зам(p) замкнутой системы, а знаменателем  характеристический полином _раз(p) разомкнутой (по всем связям) системы. Причем _раз(p)= и нахождение всех его корней не представляет трудностей. Среди них могут быть r корней справа от мнимой оси.

Для устойчивости замкнутой по всем связям ЛДС все корни полинома _зам(p) должны принадлежать ЛПП, т.е. число правых корней r₁ = 0.

Используя частотное свойство дробно рациональной функции при изменении ее независимой переменной в диапазоне [0, j), можно записать

arg H(j) = arg _зам(j)  arg _раз(j)= ( r r₁) = 2(r r₁)/2.

Тогда при r₁=0 получим частотный критерий устойчивости Найквиста для ЛДС со сложной структурой:

 Для устойчивости сложной ЛДС необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф определителя матрицы возвратных разностей охватывал начало координат комплексной плоскости в положительном направлении r/2 раз, где r  это число неустойчивых полюсов в передаточных функциях отдельных звеньев.

Примечания:

1) При наличии нулевых полюсов в передаточных функциях W_i(p) рассматриваемый частотный годограф необходимо дополнять на бесконечности так же, как это делалось для астатических систем при использовании критерия Найквиста.

2) Для удобства применения критерия, вместо H(p) можно рассматривать вспомогательную функцию G(p)=H(p)–1 и далее изучать ее частотный годограф. По отношению к этому годографу частотный критерий устойчивости будет иметь привычную форму критерия Найквиста, поэтому для подсчета числа оборотов годограф Найквиста вокруг точки "–1" удобно применить правило переходов Цыпкина.

 Аналогичным образом критерий Найквиста можно применить для исследования устойчивости многосвязной САР с передаточной матрицей разомкнутого контура W(p). Для такой системы матрица возвратных разностей Q(p)=E+W(p), а ее определитель H(p)=det[E+W(p)]=_зам(p)/_раз(p). При этом _раз(p) является знаменателем определителя |W(p)|. Необходимое для применения критерия число его правых характеристических корней r (с учетом их кратности!) можно определить, не находя _раз(p), непосредственно по полюсам элементов W_ij(p). Но при этом коэффициент кратности каждого корня будет равен рангу вычета матрицы W(p) в соответствующем полюсе. Наиболее просто это сделать, когда полюс некратный.