2.1.3 Задание оператора преобразования уравнениями состояния

Рассмотрим одномерное, непрерывное, стационарное ЛДЗ с оператором преобразования A_t, который задан неявно линейными уравнениями состояния

где A,B,C –матрицы соответствующих размеров; d – скалярная матрица (число).

Общее решение этого уравнения имеет следующий вид:

.

Здесь у₁(t)  составляющая процесса, обусловленная ненулевыми начальными условиями;  частное решение, соответствующее нулевым начальным условиям. При известном входном сигнале, y₂(t) можно представить как сумму вынужденной и «собственной сопровождающей» выхода: y₂(t)= y₂₁(t)+ y₂₂(t). При этом вынужденная составляющая y₂₁(t) имеет вид (форму) вынуждающей функции – входа u(t).

Для устойчивого ЛДЗ составляющие выхода у₁(t) и y₂₂(t) затухают во времени и на выходе остается только вынужденная составляющая y₂₁(t). При этом условием затухания является «левое» расположение собственных значений матрицы A, т.е. корней характеристического уравнения det(pEA)=0. Если порядок матрицы А не слишком большой, то раскрыв определитель полиномиальной матрицы, можно найти коэффициенты характеристического полинома и исследовать устойчивость рассмотренными выше алгебраическими критериями (например критерием Гурвица). Но при большой размерности матрицы А (сотни и выше) получение этих коэффициентов с достаточной точностью проблематично. В таких случаях применяется матричный критерий Зубова, суть которого состоит в следующем.

С помощью подстановки характеристическое уравнение преобразуется к виду det(pEA_x)=0, где A_x=(E+A)(EA)^1. Критерий Зубова формулируется относительно матрицы A_x в разных формах:

1) необходимая и достаточная: (A_x)^k  0 при k;

2) необходимая форма : Sp A_x < n, если система устойчива;

3) достаточная форма I: ||(A_x )^k|| <1 при некотором k;

4) достаточная форма II: Sp A_x^k> Sp A_x^k+1> Sp A_x^k+2 при некотором k.

Здесь Sp A_x = - след матрицы (сумма диагональных элементов);

||(A_x )|| любая из норм матрицы, например «евклидова» норма  квадратный корень из суммы квадратов всех элементов матрицы.

Критерий Зубова и его разновидности ориентированы на компьютерные вычисления при исследовании устойчивости сложных ЛДС, имеющих высокий порядок. Если при больших значениях степени матрицы A_x критерий не дает ответа, то считают, что ЛДС либо не устойчива, либо имеет малые запасы устойчивости, что с практической точки зрения одно и то же.

2.2 Методы комплексной области

Методы временной области, в принципе, позволяют провести исследование свойств и динамических особенностей ЛДС и их составляющих (звеньев). Однако они сложны для практического применения даже в простых случаях, требуют от проектировщика довольно глубоких математических знаний и, в конечном счете, ориентированы на компьютерные вычисления. Особенно это относится к решению задач синтеза, связанных с выбором структуры и параметров корректирующих устройств, способов их подключения и др.

Бóльшие удобства в этом плане дают методы комплексной области, где вместо функций времени f(t) рассматриваются их операционные изображения в виде функций комплексной переменной F(p). Математические описания (модели) ЛДС в терминах изображений существенно упрощаются, легко решаются и исследуются, а результаты затем, при необходимости, интерпретируются во временной области. Математической основой этой группы методов для непрерывных ЛДС является интегральное преобразование Лапласа.