2.2.3 Типовые динамические звенья

В общем случае передаточная функция ЛДЗ W(p) может иметь произвольно сложный вид, но всегда возможно записать ее в виде произведения или суммы более простых выражений, порядок которых не выше второго. Их принято записывать в специальном нормированном (стандартном) виде. Такими выражениями являются следующие: K, p^1, (1pT) ^1; (12||Tp+p²T²) ^1; e^–p. Динамические звенья, для которых передаточные функции имеют стандартный вид принято называть типовыми. За каждым из них закрепляется определенное название. При этом, если выполняется условие физической осуществимости (порядок числителя не выше порядка знаменателя), то они могут служить линейными моделями каких-либо реальных устройств. Ниже в таблице 2 приводятся сведения о типовых звеньях, изучаемых в линейной теории управления.

Таблица 2 – Типовые динамические звенья

№ п/п	Передаточная функция W(p)	Название звена	Примечание
1	K	Безынерционное
2	p	Дифференцирующее	(идеальное)
3		Интегрирующее	(идеальное)
4	1pT	Форсирующее первого порядка	«+» – минимальнофазовое; «–» – неминимальнофазовое
5		Инерционное первого порядка	«+» – апериодическое устойчивое; «–» – апериодическое неустойчивое
6	1+2Tp+p2T2	Форсирующее второго порядка	>0 – минимально-фазовое; <0 – неминимально-фазовое
7		Инерционное второго порядка	>0 –устойчивое; <0 –неустойчивое; =0 – консервативное; ||<1 – колебательное; ||>1 – апериодическое
8	e–p	Звено запаздывания

Полное название звена зависит от либо вида математической операции, выполняемой оператором преобразования звена, либо от вида графиков его временных характеристик. Очевидно, что для дифференцирующего и форсирующих звеньев 1-го и 2-го порядков не выполняется условие физической осуществимости (порядок числителя у их передаточных функций выше порядка знаменателя).

2.3 Методы частотной области

Для упрощения исследования свойств ЛДЗ и их соединений из временной и комплексной областей переходят в частотную область. При этом вместо сигналов, описываемых функциями времени рассматриваются их частотные спектры, а вместо передаточных функций ЛДЗ – их частотные характеристики.

2.3.1 Спектры сигналов и частотные характеристики лдз

Комплексным спектром F(j) непрерывного сигнала f(t) называют его одностороннее преобразование Фурье: F(j) = F(p)|_p=j. Здесь   вещественная переменная, имеющая физический смысл круговой (циклической) частоты гармонических колебаний. При этом M_f( |F(j)|  амплитудный, а j_f(=arg F(j) – фазовый спектры сигнала. Для ЛДЗ с передаточной функцией W(p) связь комплексных спектров выходного y(j) и входного u(j) сигналов, очевидно, имеет вид y(j)=W(j)u(j). Отсюда следует связь их амплитудных и фазовых спектров:

M_y( |W(j)| M_u(j_y(=j_u( + arg W(j).

Зависимость M ( = |W(j)| = M_y(/M_u( – это амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), а j( = j_y(j_u(фазовая частотная характеристика (ФЧХ) ЛДЗ. Обе эти характеристики имеют простой и понятный физический смысл, что позволяет определять их экспериментально.

Пусть u(t)=A_u sin t. Тогда ; p₁= jw; p₂= jw;

Найдем вынужденную составляющую выхода ЛДЗ при гармоническом входе:

,

где ;

.

Но так как W(j)=M()e^j(), а W(j)=M()e^j(), то

.

Отсюда следует, что M()=A_y/A_u, ()=_y. Если звено устойчивое, то для определения значений АЧХ и ФЧХ на частоте  нужно подать на его вход гармонический сигнал с амплитудой A_u. Затем на участке установившихся колебаний выходного сигнала, измерить их амплитуду A_y и сдвиг по времени t относительно колебаний входа (например, отрезок времени между соседними точками перехода графиков через ноль). Тогда _y=t. Знак «минус» соответствует сдвигу графика выходных колебаний (относительно входа) в сторону возрастания t.

С неустойчивым звеном такой непосредственный эксперимент по определению частотных характеристик невозможен. Однако если такое звено работает в составе некоторой устойчивой системы, то в установившемся (вынужденном) режиме гармонических колебаний этой системы можно произвести аналогичные измерения амплитуд колебаний выхода (A_y) и входа (A_u) неустойчивого звена, а также их временного сдвига t.