Если переменной  придать физический смысл угловой частоты гармонических колебаний, принимающей только положительные значения, то изменение аргумента arg a(j) уменьшится в два раза:

. (4.4)

Это «частотное свойство» полинома с вещественными коэффициентами используется для доказательства частотных критериев устойчивости.

4.2. Критерий устойчивости Михайлова (1936 г.). Пусть A(p) – характеристический полином исследуемой ЛДС. При этом структурная схема системы может быть любой. Назовем, для краткости, комплекснозначную функцию A(j) при изменении от 0 до  функцией Михайлова M(j). Из (4.4) следует, что для устойчивой ЛДС, у которой число правых корней r=0, изменение аргумента для M(j) равно n/2. Справедливо и обратное утверждение: если arg M(j)= n/2, то r=0 и ЛДС будет устойчивой. Таким образом, для устойчивости ЛДС n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы изменение аргумента функции Михайлова было равно n/2 (критерий устойчивости Михайлова). Этому критерию можно придать удобную геометрическую интерпретацию: Для устойчивости ЛДС необходимо и достаточно, чтобы годограф функции Михайлова, начинаясь при =0 на положительной части вещественной оси, последовательно в положительном направлении, нигде не обращаясь в ноль, проходил через n квадрантов комплексной плоскости. В противном случае ЛДС либо неустойчива, либо находится на границе устойчивости.

Если годограф Михайлова при некоторой частоте ₁>0 проходит через начало координат, то среди корней будет два мнимых корня p₁=+j₁ и p₂=j_. Для выяснения расположения остальных корней необходимо деформировать годограф в малой окрестности начала координат в двух противоположных направлениях. Если при этом для одного деформированного годографа условия критерия выполняются, а для другого не выполняются, то исследуемая ЛДС находится на колебательной границе устойчивости. В случае, когда ₁=0 ЛДС находится на апериодической границе устойчивости (с нулевым корнем).

Для систем, порядок которых не выше четвертого, удобна аналитическая форма критерия Михайлова. При этом для устойчивости ЛДС требуется выполнение следующих условий:

1) Re M(j0) > 0; 2) ; 3) ₀<₁<₂<...<_n1,

где ₀, ₂, ₄,...  неотрицательные корни уравнения Im M(j)=0;

₁, ₃, ₅, ... неотрицательные корни уравнения Re M(j)=0.

На этих частотах годограф Михайлова пересекается с координатными осями и при таком их соотношении он соответствует устойчивой ЛДС.

Корни уравнения для вещественной части можно не находить, а ограничиться только проверкой знаков Re M(j) на частотах ₀, ₂, ₄, и т.д. Если при этом знаки вещественной части чередуются, то ЛДС будет устойчивой.

Сделаем несколько замечаний относительно способов расчета и построения точек годографа Михайлова:

1) Годограф Михайлова всегда начинается при =0 в точке a₀ на вещественной оси, а при  устремляется (если a_n>0) в квадрант с номером n.

2) Так как с возрастанием  модуль |M(j)| быстро увеличивается, то для удобства графических построений можно рассматривать масштабированную функцию Михайлова M*(j), получаемую делением M(j), например, на выражение вида (|a₀| + |a_n|ⁿ). В этом случае M*(j) = jⁿ.

3) При известной матрице A в уравнениях состояния ЛДС, для компьютерных расчетов точек годографа используется формула M(j)=det (jEA).

4) Для ЛДС со сложной структурой, заданной матрицей взаимных связей звеньев R_y и передаточными функциями звеньев W_i(p)=B_i(p)/A_i(p), целесообразно компьютерный расчет точек годографа выполнять по формуле:

М(j) = det (A*(j)B*(j)R_y), (4.5)

где A*=diag{A_i(j)}, B*(j)=diag{B_i(j)}.

Критерий Михайлова можно применять как для замкнутых и для разомкнутых систем с любой структурой, и в этом смысле он аналогичен алгебраическим критериям. Но аналогичными будут и проблемы оценки запасов устойчивости САР и связи их со значениями параметров системы. Это ограничивает использование критерия Михайлова для решения задач динамического синтеза САР.

4.3. Критерий устойчивости Найквиста (1932 г.). Этот критерий был разработан для систем с отрицательной обратной связью и его доказательство основано на принципе аргумента (частотном свойстве) для дробно-рациональной функции комплексной переменной с вещественными коэффициентами.

Пусть H(p)=A(p)/D(p), где A(p) и D(p) полиномы n-го порядка с вещественными коэффициентами, не имеющие корней на мнимой оси. Обозначим как r₁ и r количество правых корней для этих полиномов. Рассмотрим изменение аргумента функции H(j), полагая, что  изменяется от 0 до +. Основываясь на частотном свойстве (4.4) для полиномов, можем записать:

arg H(j)= arg A(j) –  arg D(j)=(r– r₁). (4.6)

Рассмотрим далее линейную САР с единичной отрицательной обратной связью (ЕООС) с передаточной функцией разомкнутого контура W(p)=B(p)/D(p), в которой порядок числителя не выше порядка знаменателя n. Образуем функцию H(p) = 1+W(p), которую называют функцией возвратных разностей:

. (4.7)

Ее особенность в том, что она равна отношению характеристических полиномов замкнутой и разомкнутой систем. Применим формулу (4.6) к этой функции.

Если замкнутая система устойчива, то для _зам(p) число правых корней r₁=0 и arg H(j)= r = 2r/2 при изменении  от 0 до +. И наоборот, если приращение аргумента этой функции будет равно r, то число "неустойчивых" корней r₁=0, и замкнутая система будет устойчивой. Но так как изменению аргумента функции H(j) на величину 2 соответствует полный оборот годографа функции в положительном направлении (против часовой стрелки) относительно начала координат, то критерию можно придать следующую геометрическую трактовку:

 Для устойчивости замкнутой САР с ЕООС необходимо и достаточно, чтобы годограф функции H(j) охватывал в положительном направлении начало координат r/2 раз.

Так как H(j) не имеет понятного физического смысла, то целесообразно этот критерий сформулировать относительно годографа частотной передаточной функции W(j)=H(j)  1. При этом охвату годографом H(j) начала координат (0, j0) соответствует охват годографом W(j) точки (1, j0). График функции W(j) в таком случае называют годографом Найквиста и критерий устойчивости (Найквиста) приобретает следующий традиционный вид:

 Для устойчивости САР с ЕООС необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста охватывал точку "1" на вещественной оси в положительном направлении r/2 раз. Здесь r  это число полюсов передаточной функции разомкнутой системы в правой полуплоскости.

В том случае, когда годограф Найквиста при некоторой частоте ₁ проходит через точку "–1", то из W(j₁) = –1 следует, что H(j₁)=0 и _зам(j₁)= 0. Замкнутая система при этом имеет два корня на мнимой оси (p₁=j₁, p₂=j₁) и либо неустойчива, либо находится на колебательной границе устойчивости. Это можно уточнить, путем малых деформаций годографа Найквиста в окрестности критической точки "1" в двух противоположных направлениях. Если один из деформированных годографов соответствует устойчивой системе, а другой – неустойчивой, то исследуемая САР находится на колебательной границе устойчивости.

При сложной форме годографа Найквиста подсчет числа охватов им критической точки (1, j0) можно упростить, применяя правило переходов, Я.З. Цыпкина. При этом рассматривают точки пересечения годографом части вещественной оси (–1, –), называемой далее контрольным отрезком. Переход точки годографа на этом отрезке из верхней полуплоскости в нижнюю считается положительным, а обратный  отрицательным. Половина перехода будет тогда, когда годограф при =0 берет начало на этом отрезке. Правило знаков для полупереходов остается прежним. Тогда количество охватов N годографом Найквиста критической точки (1, j0) будет равно разности числа положительных и отрицательных переходов, т.е. N = N⁺  N^.

Если разомкнутая система имеет полюсы на мнимой оси (в том числе нулевые), то годограф Найквиста для некоторых частот будет иметь разрыв непрерывности второго рода. В таких случаях для правильного применения этого критерия устойчивости необходимо провести дополнительные рассуждения и построения.

Рассмотрим, например, часто встречающийся на практике случай, когда W(p) имеет нулевой полюс кратности :

. (4.8)

Тогда при =0 значение W(j) не определено, а годограф Найквиста будет иметь разрыв непрерывности второго рода. Для выяснения направления разрыва частотного годографа при 0 воспользуемся приближенным выражением для W(j)b₀/d₁₀(j)^. Отсюда следует, что при четных значениях степени (порядок астатизма САР) годограф Найквиста будет иметь бесконечный разрыв в направлении вещественной оси, а при нечетных  в направлении мнимой оси. Для того, чтобы сделать возможным подсчет числа оборотов N вокруг точки «–1», расчетную часть годографа условно дополняют (пунктиром) дугой окружности достаточно большого радиуса, проходящей в положительном направлении через квадрантов. Такое «дополнение на бесконечности» соответствует тому, что нулевой полюс считается пределом вещественного отрицательного полюса p₁=–|| при 0. После этого критерий Найквиста можно применять в обычной форме.

Если нулевой полюс считать пределом вещественного положительного полюса, то указанное «дополнение на бесконечности» нужно изображать в противоположном направлении, а число правых полюсов r увеличить на .

Аналогичные рассуждения можно провести в случае, когда W(p) имеет два корня знаменателя на мнимой оси (p₁=j₁, p₂=–j₁). Тогда W(p) запишется в виде

. (4.9)

При этом годограф Найквиста будет иметь разрыв второго рода при =₁ в направлении вектора V(j₁)= W₁(j₁). Для исследования устойчивости САР в этом случае расчетную часть годографа необходимо дополнить пунктиром полуокружностью достаточно большого радиуса в положительном направлении (против часовой стрелки). При таком способе дополнения годографа Найквиста мнимые полюса считаются пределом "левых" комплексных полюсов p_1,2=–||j₁, у которых вещественная часть –|| стремится к нулю.

Ввиду широкого применения логарифмических частотных характеристик, целесообразно критерий Найквиста сформулировать относительно ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы. При этом правило переходов Цыпкина применяется к ЛФХ в тех диапазонах частот, где ЛАХ разомкнутой системы положительна. Для этого подсчитывается число переходов ЛФХ через "критические" уровни _кр= –2k в диапазонах положительности ЛАХ. Переход «вверх» считается положительным, а переход «вниз»  отрицательным.

Если при =0 ЛФХ начинается на критическом уровне, то это соответствует половине перехода соответствующего знака. Число охватов N годографом точки (1, j0) будет, как и раньше, равно  разности числа положительных N⁺ и отрицательных N^ переходов, а условие Найквиста для устойчивости САР не изменится: N = N⁺  N^= r/2.

В том случае, когда у W(p) есть нулевой полюс -го порядка (астатическая система), фазовая характеристика в области значений частоты 0 доопределяется скачком вверх на величину /2, а затем применяется правило переходов и критерий устойчивости.

Для простых САР с одним диапазоном положительности ЛАХ и r=0, критерий Найквиста имеет более простую формулировку: Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы график _w() пересекала критический уровень «–» левее частоты среза _cр четное число раз. В частности, если критическая частота _кр единственная, то условие устойчивости примет вид _cр < _кр.

Важнейшей особенностью рассматриваемого частотного метода является то, что он позволяет оценить не только устойчивость системы, но и удаленность ее от колебательной границы устойчивости. Чем меньше расстояние годографа до точки «–1», тем меньше запас устойчивости и тем больше склонность ее к колебаниям в переходном процессе. Справедливо и обратное утверждение.

По объективным причинам (старение, влияние окружающей среды и др.) параметры реальной системы отличаются от расчетных значений и при близком расположении расчетного годографа Найквиста и точки "–1" реальная система может оказаться неустойчивой. Поэтому при проектировании САР минимальное расстояние годографа до «опасной» точки необходимо ограничивать. С этой целью вводится понятие запасов устойчивости, количественной характеристикой их могут быть, например, величины линейного и углового расстояния годографа до критической точки. Их называют, соответственно, запас устойчивости по модулю (по усилению) и по фазе.

Первый из них (запас по усилению) K_д связан с расстоянием ₁ годографа до точки "–1" в направлении вещественной оси:

K_д = 1/(1–₁).

Он имеет смысл дополнительного коэффициента усиления разомкнутой системы, при наличии которого годограф Найквиста «попадет» на частоте  = _кр в точку "–1". Если К – коэффициент передачи разомкнутого контура, то при увеличении его до значения K_гр = KK_д, замкнутая система окажется на колебательной границе устойчивости. Часто запас устойчивости по коэффициенту усиления выражают в децибелах (дБ): L_з = 20lg K_д.

При параллельном смещении ЛАХ разомкнутой системы вверх на величину L_з, частота среза и критическая частота будут одинаковыми, и система окажется на границе устойчивости. Таким образом, величина L_з численно равна расстоянию точки ЛАХ разомкнутой системы до оси 0 дБ на критической частоте: L_з=|L_w(_кр)|. Типовое (рекомендуемое) значение L_з должно быть не менее 6 дБ, что соответствует К_д > 2.

Другим показателем запаса устойчивости является запас по фазе _з. Он равен избытку фазы, т.е. расстоянию графика фазовой характеристики до критического уровня – на частоте среза:

_з=|(_cр)+ |.

Он показывает величину дополнительного отрицательного фазового сдвига на частоте среза _cр, при наличии которого САР окажется на колебательной границе устойчивости, а ее годограф Найквиста будет проходить через точку "–1". Типовое значение _з для проектируемых САР обычно не менее 30…45 град.

В общем случае годограф Найквиста может пересекать вещественную ось в нескольких точках, которым соответствует несколько критических частот. Такие САР имеют АФЧХ второго рода и их принято называть условно устойчивыми. Их особенностью является то, что они могут изменять свойство устойчивости (неустойчивости) как при увеличении, так и при уменьшении коэффициента усиления. Если, например, такая система устойчива при _кр1 < _cр < _кр2, то для нее необходимо рассматривать еще один показатель запаса устойчивости – на уменьшение коэффициента усиления. Он связан с расстоянием ₂ точки годографа на частоте _кр1 до критической точки «–1»: K₁=1+₂ =|W(j_кр1)| и показывает, во сколько раз нужно уменьшить коэффициент передачи разомкнутой системы, для того чтобы она оказалась на колебательной границе устойчивости. При этом L_з2=20lg(1+₂).

При синтезе САР запасы устойчивости _з, L_з и L_з2 принято ограничивать снизу некоторыми допустимыми значениями. Эти требования будут обеспечены, если среднечастотная часть годографа Найквиста не заходит в угловой сектор кольца (R₁=1–₁, R₂=1+₂) с центром в начале координат и центральным углом 2_з, содержащем точку "–1".

Частотный метод исследования устойчивости на основе критерия Найквиста имеет ряд достоинств, которые делают его незаменимым инструментом в инженерных приложениях. Перечислим основные из них:

1) При построении годографа Найквиста можно использовать не только расчетные, но и экспериментально полученные частотные характеристики.

2) Использование критерия Найквиста позволяет не только определить факт устойчивости ЛДС, но и позволяет для устойчивой ЛДС оценить удаленности ее от колебательной границы устойчивости.

3) Для неустойчивой системы критерий позволяет указать направление деформации годографа и соответствующий частотный диапазон с целью ее стабилизации и обеспечения требуемых запасов устойчивости.

Для того, чтобы точки годограф Найквиста устойчивой системы вывести из "запретной" области, применятся разные виды коррекции частотных свойств разомкнутой системы:

1) амплитудная; 2) фазовая; 3) амплитудно-фазовая.

Так, например, при амплитудно-фазовой коррекции дополнительное (корректирующее) звено на частотах некоторого диапазона изменяет и модуль, и аргумент (фазу) W(j). При этом могут использоваться как фазоопережающие, так и фазоотстающие корректирующие звенья, позволяющие деформировать желаемым образом годограф Найквиста.

Физическая реализация корректирующих звеньев может быть различной и часто для этой цели применяются электрические RC-четырехполюсники.