4. О теории фракталов

Самым фантастическим достижением в этом направлении является теория фракталов, разрабатывающая образы комплексных динамических систем. Наука все более отказывается сегодня от абсолютизирования достигнутых представлений о мире, включает в критерий истины такие понятия, как прогноз, динамика, нелинейность, возможность дальнейшего развития и совершенствования. Трудно избежать впечатления, что различие между существующим во времени, необратимым, и существующим вне времени, вечным, лежит у самых истоков человеческой деятельности, связанной с операциями над различного рода символами. С особенной наглядностью это проявляется в художественном творчестве. Так уже один аспект преобразования естественного объекта, например камня, в предмет искусства прямо соотнесен с нашими воздействиями на материю. Деятельность художника нарушает временную симметрию объекта. Она оставляет след, переносящий нашу временную дисимметрию во временную дисимметрию объекта. Из обратимого, почти циклического уровня шума, в котором мы живем, возникает музыка, одновременно и стохастическая и ориентированная во времени. Именно связь науки с искусством является основой исследований в области фракталов^[5].

Теория фракталов – это практически новая, фрактальная геометрия. Само слово фрактал было придумано в 1975 г. Бенуа Б.Мандельбротом для обозначения таких математических диаграмм и фигур, которые значительно отличаются от евклидовых фигур своей произвольной сложностью и хаотичностью, негладкостью и нерегулярностью, изломанностью, но в то же время являются самоподобными. Мандельброт показал возможность разделить на части понятие хаоса, определить его границы, а самое главное приступить к мышлению в образах. Конечно, это стало возможным только при появлении компьютеров, позволивших обогатить человеческие возможности познания в такой степени, которая редко достигалась другими средствами. Как ни странно, ученые в данном случае обогатили прежде всего искусство. Компьютерная графика с использованием знаний фрактальной геометрии дарит нам фантастические миры, прекрасные пейзажи, подобные природным. Но эта же графика помогает нам приподнять покров над тайнами природы. Так, где предыдущие поколения ученых были вынуждены схематизировать, упрощать свои взгляды или вообще отказываться от достижения поставленных целей, современные исследователи имеют возможность увидеть саму суть того или иного уравнения на экране дисплея. Естественные процессы, представленные графически, могут постигаться во всей их сложности, с опорой на интуицию, с рождением новых идей и ассоциаций.

Графическое изображение катастрофы выглядит как истинное произведение искусства, правда, не вполне понятное, не привычное, похожее скорее на некие космические фотографии загадочных миров. Сам процесс катастрофы здесь можно определить как хаос, под которым подразумевается такое состояние, когда система выходит из-под контроля, а новое образование еще не сформировалось. Не существует способа предсказать поведение такой системы на длительное время. Зато можно прослеживать постоянное повторение одних и тех же операций на микроскопическом уровне и прийти к заключению о существовании определенного закона или тенденции. Так Э.Н.Лоренц, метеоролог из Массачусетского технологического института, обнаружил в 1964 г., что некий закон описывает некоторые свойства турбулентного потока при значительном росте коэффициента. Закон этот был уже известен задолго до того: в 1845 г. была открыта модель роста популяций, названная законом П.Ф.Ферхюльста. Суть процесса Ферхюльста заключается в том, что малые коэффициенты прироста популяции означают относительную стабильность системы, но как только коэффициент превысит 200%, так стабильность нарушается и процесс становится непредсказуемым, а система разрушается за счет все новых и новых образований; возникает ситуация' вхождения в хаос. По мере роста коэффициента обнаруживается последовательность, определяемая своим изначальным значением, что в принципе подразумевает возможность определения последующих значений с бесконечной точностью. Но дело в том, что реальное описание начальной величины можно получить только с конечной точностью, т.е. речь идет лишь об идеале точности, а не о самой точности. Сценарий превращения порядка в хаос, таким образом, можно вполне проследить или даже сконструировать и ввести в компьютер. Для этого стоит лишь использовать простую формулу: точно определить значение параметров роста, при которых происходят бифуркации от колебаний 2n к колебаниям периода 2n + 1. Иначе говоря, речь идет об очень кропотливой работе по наблюдению за как можно более малыми интервалами между периодами движения. Главное здесь тенденция нелинейного процесса, касающаяся длин интервалов, при которых устойчивым является периодическое движение с некоторым определенным периодом. Эти интервалы сокращаются при каждом удвоении периода, причем множитель, характеризующий сокращение, приближается к универсальному значению, когда период растет. Этот множитель, как и число П для отношения длины окружности к ее диаметру, является постоянной характеристикой для сценариев удвоения периодов и выглядит: б = 4.669201660910... Сегодня уже доказано, что существенные аспекты динамики сложных систем можно свести к поведению, пример которого дает формула Ферхюльста. Сценарий удвоения периода наблюдается во многих естественных системах: начало турбулентности в потоке жидкости, нелинейные колебания в химических или электрических сетях, переход нормального ритма сердца в угрожающую жизни фибриляцию и т.д.

Мандельброт дошел дальше, предложив наблюдать процесс не на прямой, а в плоскости, для чего вместо действительных чисел стал рассматривать комплексные числа. В центре внимания оказалась природа границ между различными областями: имеются аттракторы – центры, которые ведут борьбу за влияние на плоскости: любая начальная точка Хо в течение процесса либо приходит к тому или другому центру, либо лежит на границе и колеблется в принятии определенного направления движения. С изменением параметра изменяются и области, принадлежащие аттракторам, а вместе с ними и границы. Случается, что граница превращается в пыль, и такой распад представляет собой один из наиболее важных сценариев.

Для природных процессов типична смесь порядка и беспорядка. Теория фракталов позволяет уяснить скорее эмоциональную сторону природных процессов, нежели дать некое универсальное средство разрешения всех встающих перед человеком проблем; она рассчитана на конкретную ситуацию. Если даже структурные или системные принципы экстраполируются все более глубокими конструкциями, то и в этом случае совершенно абсурдно, чтобы действительность с исчерпывающей полнотой отражалась схемами и конструкциями – от бесконечных космологических размеров до самой последней микроскопической детали. В ту или иную схему полностью можно впихнуть какое-то техническое изделие, т.е. то, что сотворено человеком, но не то, что сотворено Богом. Недаром все, что производит промышленность, вообще весь технический мир, кажется столь неестественным, хотя и является продуктом естественных наук: силуэт изогнутого земного рельефа, или дерева, или беспорядочная звездная ткань воспринимаются как нечто прекрасное и совершенное, а любой силуэт заводского сооружения, урбанизированного пейзажа такими не кажутся, несмотря на все усилия архитекторов.

Исследование комплексных динамических систем позволяет понять, что наше ощущение прекрасного возникает под влиянием гармонии порядка и беспорядка в объектах природы. Промышленные же изделия выглядят застывшими и неестественными из-за полного упорядочения их форм и функций, причем сами изделия тем совершеннее, чем сильнее это упорядочение. Подобная полная регулярность не противоречит законам природы, но она нетипична даже для весьма простых естественных процессов. Наоборот, техника означает прежде всего регулярность, закономерность, унификацию и стандартизацию.

Природа настолько богаче любой теории, насколько отдельный случай беднее всего разнообразия случаев. Наука, изучая лишь нетипичные для природы случаи, но типичные с точки зрения наблюдателя, искусственно создает пограничную линию природы, т.е. имеет дело с почти патологическим случаем. То, что с точки зрения человека является катастрофой, кризисом, природным бедствием, для природы является типичным, обычным процессом, мало изученным человеком. Любой ученый, несмотря на свою объективность, является предвзятым наблюдателем, поскольку погружен в свою культуру, в свои сферы жизнедеятельности и поскольку любое его наблюдение во главу угла ставит интересы человека, его жизнь и выживаемость. С точки зрения человека, проблема безопасности состоит в том, чтобы избежать неблагоприятных для него воздействий природы или, в крайнем случае, приспособиться к этим воздействиям. Здесь важно подчеркнуть, что проблема катастрофы с самого начала обнаруживается в пространстве на пограничном участке, т.е. там, где человек менее всего склонен находиться: и во времени – за пределами человеческих биоритмов.

На последнем стоит остановиться особо, т.к. имеется много оснований для предположения, что теория динамических систем и создание на ее основе наглядных образов – новая страница в понимании природы времени. О времени написано не меньше трудов, чем о пространстве, но чем дальше наука продвигается в изучении времени, тем более запутанным становится вопрос.

Если в пространстве различать три уровня –идеальное, физическое и психическое или человеческое, – то по аналогии время можно различать так же на этих трех уровнях. Но как можно говорить об идеальном времени, если нет науки об идеальном времени, аналогичной геометрии как науке об идеальном пространстве? Одни ученые в идеальном времени усматривали фундамент арифметики, смешивали с потоком времени не имеющий измерения времени ряд чисел, при помощи последовательности времени стремились сделать наглядным ряд чисел. Другие отрицали вообще возможность идеального времени на том основании, что время присуще только физическому миру и поэтому оно не может быть реальным. Но при этом не учитывалось, что общие тенденции и отношения времени могут быть сверхвременными.

В идеальном пространстве имеются образования с присущими им законами. В геометрическом времени можно говорить об идеальном времени как о ритме. Ритм – чистое содержание времени. Но кроме того, трехмерные пространственные образования имеют огромное разнообразие форм и целую иерархию законов; напротив, одновременное образование бедно, и его законы были бы скоро исчерпаны. Поэтому геометрия времени возможна лишь в самой себе и тогда можно с той же априорностью, что и в геометрии пространства, рассуждать об априорности геометрии времени, если следовать Канту.

Через 30 лет после смерти Канта математик Уильям Гамильтон прочел доклад в Королевской Ирландской академии, в котором утверждал, что наряду с чисто математической наукой о пространстве должна существовать также и чистая математическая наука о времени. Он видел такую науку в алгебре, понимаемой не формально как система знаков и их комбинаций, а интерпретируемой реально, что, по его мнению, означает интуитивное понимание времени –одномерного континуума точечных мгновений. Алгебра должна быть не только искусством или языком, но наукой о чистом времени.

Против связи алгебры с понятием времени выступил в 1883 г. математик Кэли в президентском адресе к Британской ассоциации. Отметив, что Гамильтон употреблял термин алгебра в таком широком смысле, что в нее включалось и дифференциальное исчисление, он все же отрицал связь с понятием времени, даже так широко понятой алгебры. Казалось бы, что изменения любого рода происходят во времени, а в основе дифференциального исчисления понятие непрерывного изменения является фундаментальным понятием. Но, по мнению Кэли, изменения, которые изучает чистая математика, в большинстве случаев рассматриваются совершенно независимо от времени. В математике нет понятия времени, пока мы не привносим его туда, считает Кэли.

В том же 1883 г. Г.Кантор в своей работе о математическом континууме утверждал, что нельзя определить понятие континуума, ссылаясь на время, т.к. само время от него зависит: непрерывность –более элементарное и фундаментальное понятие.

Основатель интуиционистского направления в математике Брауер возвратился к учению Канта о времени, признав его априорный характер. По его мнению, именно интуитивное понимание времени дает начало интуитивному пониманию линейного континуума. Согласно Брауеру, время – чистая форма интуиции в обычном смысле этого слова: наш опыт характеризуется временным следованием, основанным на двучленном отношении до/после. Напротив, формалистические и логистические школы в математике основаны на убеждении в безвременном характере математического существования – линия Платона, который не вводил времени в чистую геометрию.

Споры по этой проблеме продолжаются и сегодня. Так американский физик Д.Синг предлагает назвать хронометрией ту часть науки, которая имеет дело с понятием идеального времени в таком же широком смысле, в каком геометрия имеет дело с понятием пространства. Речь идет о чистой хронометрии в отличие от прикладной хронометрии – техники изготовления часов, астрономического определения времени и т.д.

Философ Н.Гартман считает, что подобно тому, как возможны иные пространства, чем эвклидово, так мыслимо время иных видов, чем физическое или реальное время. Незнание их в настоящее время не может быть аргументом против их существования. Решающую роль здесь, как и в случае пространства, имеет форма измерения, единственного у времени. Можно мыслить два типа времени с искривленным измерением и, следовательно, также искривленным течением: эллиптическое время и периодическое время, образно которое можно представить в виде спирали.

Гартман отмечает, что оба эти типа идеального времени не были чужды спекулятивному метафизическому мышлению. Первый тип времени противопоставлялся как вечность, как замкнутый совершенный круг прямолинейно текущему времени. Второй тип идеального времени выступал во всех тех картинах мира, где говорилось о вечном возврате всего происходящего. Периодичность событий переносилась здесь на время. Исключительно в силу практических интересов идеальное время не получило такой научно-разработанной формы, как идеальное пространство. Поскольку это зависит не от сущности времени, а от внешних обстоятельств, из категориального анализа не исключается обсуждение проблемы идеального времени. У Гартмана аналогия времени с пространством полная, поскольку он не без основания указывает, что в реальном мире может быть только одно пространство и только одно время.

В обыденном сознании определение времени связано с делением на настоящее, прошлое и будущее. В древности говорили о том, что здесь три вида бытия: будущее бытие отличается от прошлого бытия, и оба они отличаются от настоящего бытия. Элеаты во главе с Парменидом считали, что подлинным бытием является только настоящее: неподвижное бытие существует в вечном теперь. Прошлое и будущее не существуют. Гартман соглашается с тем, что настоящее для людей имеет всегда особое значение; будущее недостоверно, может наступить или не наступить, а прошлое не вернется. Однако при этом упускается то, что настоящее было в будущем и станет прошлым, что теперь – настоящее – не останавливается. На том основании, что события происходят раньше или позже во времени, Гартман считает невозможным приписывать им различие в виде бытия. Элеаты стремились сделать теперь вечным, но это возможно сделать только в мышлении. В действительности же ни человек, ни другая сила в мире не могут, по Гартману, задержать теперь, остановить мгновение, как хотел Фауст.

По-другому подходил к этой проблеме Аврелий Августин. Он согласен с элеатами в том, что в действительности существует только настоящее. Прошедшее же должно быть отождествлено с воспоминанием, а будущее с ожиданием. А воспоминание и ожидание – факты, относящиеся к настоящему. Согласно Августину, существует три вида настоящего времени: настоящее прошедших предметов, настоящее настоящих предметов и настоящее будущих предметов. Для настоящего прошедших предметов у нас есть память или воспоминание; для настоящего настоящих предметов у нас есть воззрение или созерцание, а для настоящего будущих предметов – чаяния, упования, надежда. Таким образом, решение, предлагаемое Августином, заключается в том, чтобы признать время субъективным, чем-то существующим только в нашем сознании.

Гартман решительно возражает против такого субъективистского понимания времени и приводит, кажется, весомые аргументы, но в результате приходит к выводу о непрерывном времени, полагая, что момент дискретности во времени не имеет самостоятельного значения.

Между тем исследование закономерностей познания времени, непосредственного – в восприятии и опосредованного – в мышлении, – актуальная проблема не только современной физики, но и физиологии и психологии. Огромный материал накоплен психопатологией, в которой расстройства восприятия времени, расщепление непосредственного и опосредованного понимания времени – у шизофреников – исследуются вполне успешно. Патологические нарушения в познании времени, связанные с расстройством памяти, имеют значение для дифференциальной диагностики нервно-психических заболеваний, т.е. тех заболеваний, которые означают приближение человека к граничной ситуации, можно сказать даже к запредельной. А именно о таких ситуациях идет речь в теории фракталов.

Сегодня чувствуется необходимость разработки новых средств пространственно-временной ориентации человека. По мере продвижения технической цивилизации в наблюдаемом направлении психология сталкивается с недостаточной разработанностью проблем отражения пространства и времени в сознании человека. В огромной степени с этой неразработанностью связана тенденция катастрофизма. Не только в восприятии, но и в абстрагирующей теоретической деятельности человек сталкивается сегодня с трудностью совмещения времени и пространства в различных ситуациях. Например, взрыв динамита, или автомобильная авария, или стихийное бедствие воспринимаются человеком как одномоментный акт, в то время как погружение в микромир позволяет понять, что в этих явлениях речь идет не о моменте, а бесчисленном множестве моментов, о процессе, об "эпохе" перехода в хаос, в котором исчезают одни и возникают новые образования вплоть до формирования новой системы. Понять это и позволяет фрактальная геометрия и ее ключ –множество Мандельброта.

Фактически в этом множестве содержится типичный принцип перехода от порядка к хаосу. Идея Мандельброта состоит в том, чтобы вместо действительных чисел рассмотреть комплексы и наблюдать процесс х0ах1ах2... в плоскости. Притом конкретный вид правила не является существенным, поскольку различные правила могут порождать то же самое множество Мандельброта. Процесс Мандельброта математически эквивалентен процессу Ферхюльста и очень просто формулируется: Хn+1 = f(Xn) = Хn2 + С. Выбрав произвольное число х₀, возведем в квадрат и прибавим константу С для того, чтобы получить х₁; затем повторим вычисления для того, чтобы получить х₂, х₃ и т.д. Такая простая формула итерирования принесла неожиданные результаты, которые обнаружились при ненулевом значении константы С. Если C=0, то при каждой итерации вычисляется точный квадрат числа: х₀àх₀²àх₀⁴àх₀⁸ ... Для этой последовательности в зависимости от х₀ имеются три возможности:

1. Числа получаются все меньшими и меньшими, их последовательность приближается к нулю, который является аттрактором для процесса хàх². Все точки, находящиеся на расстоянии меньше 1 от этого центра, движутся к нему.

2. Числа становятся все большими и большими, стремясь к бесконечности, которая также является аттрактором для этого процесса. Все точки, лежащие на расстоянии больше 1 от нуля, движутся к бесконечности.

3. Точки находятся и продолжают оставаться на расстоянии 1 от нуля. Их последовательности лежат на границе двух областей притяжения, в данном случае на окружности единичного радиуса с центром в нуле. При ненулевом значении С для последовательности х₀àх₁àх₂ ... также имеются три из перечисленных выше возможностей, но внутренний аттрактор уже не является нулем, а граница уже не является гладкой. Изломанная линия напоминает линию морского берега, многие естественные границы, которые становятся явно тем длиннее, чем более мелкий масштаб используется для их измерения. Одной из характерных особенностей этой границы является ее самоподобие. Если взглянуть на любой из ее поворотов или заливов, то можно обнаружить, что одна и та же форма встречается в различных местах и имеет разные размеры. Границы такого рода в математике называются множествами Жюлиа, который вместе с Фату изучал свойства множеств для более общего случая рациональных отображений в комплексной плоскости. Гастону Жюлиа и Пьеру Фату было хорошо известно о самоподобии уже в начале 40-х годов. Они установили, что всю границу можно восстановить по любой произвольно малой ее части, используя конечное число итераций формулы XàX²+С. На компьютере эти формулы получают наглядное изображение, доступное любому, даже математически неподготовленному человеку.

Множества Жюлиа заключают в себе невероятно сложную динамику. На границе процесс хаотичен настолько, насколько это возможно: имеется неустойчивая неподвижная точка отображения –аттрактор – со своими прообразами; имеется и бесконечное число неустойчивых периодических последовательностей – итераций – также вместе со своими прообразами; и имеются хаотические последовательности точек, которые никогда не стремятся к какой-либо регулярности. Очень живо и наглядно это можно наблюдать на дисплее компьютера или перевести изображение в звуки.

По мере изменения значений константы с изменяется графическое изображение множеств Жюлиа. Существует и правило, указывающее, какой вид множество будет иметь при каждом конкретном выборе с. Это правило приводит как раз к множеству Мандельброта или просто к множеству М. Если проследить некий путь в с-плоскости, начинающийся внутри М и заканчивающийся вне его, то самые драматические изменения с множествами Жюлиа обнаружатся тогда, когда прослеживаемый путь будет пересекать границу М: эти множества, как будто взорвавшись, превращаются в облако из бесконечного числа точек – эффект называется пылью Фату. В этом смысле граница множества М определяет момент фазового перехода для множества Жюлиа. Пыль Фату становится все мельче по мере удаления точки с от М. Графически самые интересные и завораживающие графики или картины разворачиваются именно на границе. Здесь обнаруживается примечательная особенность подобия структуры некоторых сторон множества Мандельброта форме соответствующего множества Жюлиа. Качественное подобие некоторых деталей достигает такой глубины, что обнаруживается вплоть до миллионнократного увеличения. Естественно, что бесконечная микроскопическая глубина, на которую, кажется, простирается самоподобие, является математической конструкцией, не существующей в реальном мире. Физические объекты редко оказываются самоподобными при увеличении более чем на четыре порядка. В биологии новые принципы самоорганизации проявляются обычно при увеличении на 2 порядка –макромолекулы имеют диаметр, примерно равный 100 атомам, простые клетки – диаметр около 100 макромолекул и т.д. Следовательно, процесс XàX²+С не дает точного описания реального мира. Но такой задачи и не ставилось. Каждый закон имеет свою область применения, которую нужно точно определить. Вместе с тем наблюдающаяся регулярность множества Мандельброта позволяет надеяться, что в мире нелинейных явлений будут найдены более или менее характерные сценарии, что позволяет, кроме прочего, в случае кризиса или катастрофы использовать сценарные разработки в образном варианте, проигрывая ситуацию на компьютере. И если некоторые исследования ученых, предостерегающих о кризисе на своем профессиональном языке, никак не могут дойти до властей, то образная динамическая ситуация на компьютере сможет преодолеть порог непонимания чрезвычайности положения и заставить власти принимать советуемые меры.