Модель Леонтьева «затраты-выпуск»

Основным компонентом модели является технологическая матрица А=(a_ij)_тxп, элементы которой а_ij, показывают, сколько продукции отрасли i необходимо затратить для производства единицы продукции отрасли j. Матрица А называется матрицей коэффициентов прямых затрат.

Основное допущение модели: для производства х_i единиц продукции отрасли j необходимо затратить:

единиц продукции отрасли i.

Промежуточные затраты продукции отрасли i:

Тогда справедливо равенство:

или в матричной форме:

Полученная система линейных уравнений характеризует модель МОБ (модель Леонтьева) и, связывая объемы валового выпуска Х с объемами конечной продукции Y, может быть использована для согласованного расчета этих величин.

При использовании модели МОБ основные трудности заключаются в определении коэффициентов прямых затрат. Решение этой задачи до некоторой степени упрощается введением понятия «чистой» или «технологической» отрасли: одна продукция выпускается только одной отраслью, которую и называют «чистой».

3.3. Модели обменных процессов и ценообразования

Рассмотрим вопросы происхождения денег, стоимости, цены и различные ценообразовательные механизмы при непременном условии существования обменных процессов в экономике.

Исторический опыт учит, что деньги возникли в результате упрощения процесса обмена вещей друг на друга при замене одной из обмениваемых вещей на металлические (золотые) монеты, а потом и на бумажные знаки стоимости, с превращением денег во всеобщий эквивалент обмена. Поэтому возьмем за основу первоначальную схему обмена товарами на обобщенном рынке между производителями двух товаров:

Для нахождения модели обмена в простейшем случае будем предполагать наличие в системе обмена двумя товарами двух производителей товаров вида х и вида у, соответственно. Будем считать, что производителю товара вида х нужен товар вида у, а производителю товара вида у нужен товар вида х, так что с этими целями они и обменивают товары друг на друга. Запишем модель обмена, а потом подробно обсудим ее содержание:

(3.1)

В представленной модели (3.1) x(t) и y(t) — это количества товаров вида х и у в момент времени t, соответственно, у первого и второго производителя-потребителя. Товары х и у считаем различными, так как в противном случае не было бы нужды их обменивать. Чтобы обменять один товар на другой, его предварительно надо произвести. Поэтому в представленную модель обмена входят выпуски в единицу времени товаров вида х и у, которые соответствуют членам j₁ и j₄.

Произведенные товары встречаются на рынке и обмениваются. В модели (3.1) члены -j₂xy и -j₅xy являются обменными членами и описывают этот обмен. В эти члены входят произведения количеств товаров x(t) и y(t), знаменующие встречи. Величины j₂ и j₅, — положительные эффективности обмена, так что член -j₂xy показывает, сколько товара вида х убывает с рынка в результате его обмена (продажи) в единицу времени. Аналогично, член -j₅xy показывает, сколько товара вида у обменивается на рынке на товар вида х в единицу времени. Поэтому величина

(3.2)

является меновой стоимостью обмена (продажи), показывающей, что на единицу товара вида у обменивается j₂, единиц товара вида х.

Так как товары вида хи у физически изнашиваются и одновременно морально стареют, то члены -j₃x и -j₆y описывают убыль этих товаров в результате физического износа и морального старения. При этом и — долговечности соответствующих товаров.

Для анализа модели обмена (3.1) применяют качественную теорию обыкновенных автономных нелинейных дифференциальных уравнений. Согласно этой теории вычисляют положения равновесия модели х₀ и у₀ и определяют характер их устойчивости.

Из этого анализа следует, что в системе (3.1), описывающей обменный процесс, имеется два положения равновесия, из которых первое, х₀₁, у₀₁, является всегда устойчивым топологическим фокусом, а второе, х₀₂, у₀₂, — седлом, т. е. неустойчиво.

Величина меновой стоимости может быть выражена через положения равновесия — запасы товаров вида х и вида у — следующим образом:

(3.3)

Размерность меновой стоимости (3.3): [с] — (единицы товара вида х) • (единицы товара вида у)^-1 = (затраты конкретного труда вида х) • (затраты конкретного труда вида у)^-1. Следовательно, меновая стоимость (3.3) показывает, сколько единиц конкретного труда вида х обменивается на единицу конкретного труда вида у.

Модель (3.1) можно упростить, если устремить долговечность к бесконечности. В этом случае модель (3.1) оказывается простейшей, но еще грубой моделью обмена. Выражение (3.3) превращается в следующее:

(3.4)

При переходе к пределу модель (3.1) принимает вид

(3.5)

так как, очевидно, можно положить j₅ = 1. В этом пределе происходит слияние двух положений равновесия модели (3.1) с образованием одного

(3.6)

Когда положение равновесия (3.6) является устойчивым фокусом, а при - седлом. Таким образом, при слиянии седла и фокуса модели (3.1) происходит образование седла или фокуса модели (3.5).

Формула для неравновесной цены (3.4) отличается от известной формулы для равновесной концепции цены ЭрроуДебреМак-Кензи вторым слагаемым, стоящим в знаменателе (3.4).

Переход к модели (3.5) с экономически означает следующее: 1) появление товара с бесконечной долговечностью, т.е. денег; 2) появление эквивалента, на который теперь могут обмениваться все товары; 3) превращение выпуска товаров вида х в платежеспособный спрос j₁; 4) замену конкретного труда вида х абстрактным (абстрагированным от конкретных свойств товара вида х); 5) величину j₁ можно трактовать как эмиссию бумажных денег в производстве с одним товаром; 6) пропорциональность количества денег количеству израсходованного труда, т.е. появление меры измерения труда; 7) возникновение цены как меры денежного выражения стоимости.

Деньги и цена, таким образом, возникли при переходе от седла и устойчивого фокуса — по модели (3.1) — к седлу или устойчивому фокусу — по модели (3.5). На основании изложенного можно сказать, что цена показывает, сколько прошлого, абстрактного труда, воплощенного в деньгах, обменивается на труд, воплощенный в товаре при купле-продаже. Поэтому в цене с₀ (3.4) j₁ — платежеспособный спрос в единицу времени; j₄ — производство, предложение товара вида у в единицу времени; у₀ — запасы товара вида у, _y — долговечность товара вида у, связанная одновременно с физическим износом и моральным старением.

Розничные, оптовые, закупочные цены, зарплата работников являются неравновесными потому, что их выражение выводится из математических моделей, в которых значение положения равновесия известно в любой текущий момент времени, а не только лишь в состоянии равновесия.

Определим формулы для цен, исходя лишь из соображений размерности. Из эмпирических соображений можно считать, что цена с пропорциональна платежеспособному спросу в единицу времени с размерностью [j] рубли/годы и обратно пропорциональна предложению (производству) товаров в единицу времени  с размерностью [] тонны/ годы (натуральные единицы/годы)

с ~j/ (3.7)

Однако есть еще две величины, запасы товаров (у₀, у) и долговечность товаров , размерности которых имеют вид: [у₀] - тонны (натуральное выражение); [у] — рубли (стоимостное выражение); [] — годы. Вхождение этих величин в формулу для цены обязательно, так как известно, что с увеличением запасов товара цена растет, а с увеличением долговечности товара цена при прочих равных условиях падает. Из величин у₀, у,  можно образовать две величины: у₀/ с размерностью тонны/годы и у/ с размерностью рубли/годы. Из экономических соображений ясно, что величина у₀/ должна входить в знаменатель отношения (3.7) со знаком минус, а величина у/ — в числитель формулы (3.7) со знаком плюс. Тогда точные формулы для розничных и оптовых цен, а также цен на услуги выглядят следующим образом:

(3.8)

В формулах (3.8) с₁ и с₂ — цены: розничные, оптовые, закупочные цены или цены на услуги имеют размерности руб./штуки; руб./тонны; руб./услуги; j — платежеспособный спрос в единицу времени на товары или услуги, который имеет размерность руб./год. Величина  — объем производства товаров или поток заявок на услуги в единицу времени имеет размерность — штуки/год; тонны/ год; услуги/год. Величина у₀ — запасы товаров или услуг имеет размерность — штуки; тонны; услуги, в то время как величина у есть стоимость запасов товаров или услуг в рублях (размерность [у] — рубли).

Переменная  представляет собой долговечность товара или произведенной услуги, связанную одновременно с физическим и моральным старением товаров или услуг. Если ₁ — долговечность товара или услуги, связанная с физическим износом, а ₂ — долговечность товара, связанная с моральным старением, то результирующая долговечность  равна:

(3.9)

Если требуется выйти из дефицита за счет цен, то цена на данный товар или услугу вычисляется по следующим формулам:

;

, (3.10)

где  — товарооборот в единицу времени, а k — коэффициент вовлечения в товарооборот денежных запасов населения, вычисляемый в долях от реального (действующего) в данном году товарооборота.

Иными словами, величина k — это спрос, определяемый следующим образом:

(3.11)

где  — абсолютный отложенный спрос.

Если товар не дефицитен, то k = 0, поскольку платежеспособный спрос совпадает в данном случае с товарооборотом. Если в формулы (3.10) в условиях отсутствия дефицита подставить эмпирические значения входящих в них параметров, то левые и правые части этих формул оказываются близкими по значению. Это связано с тем, что в условиях отсутствия дефицита (k = 0) теоретические значения левой и правой части удовлетворяются тождественно, демонстрируя адекватность расчетных цен реальным. Для товаров розничной сети формула с₁ (3.10) может быть представлена следующим образом

(3.12)

где  = ₁₂₃ , а ₁ — потребление данного товара (услуги) в единицу времени на душу населения с размерностью: тонны/(чел.год), штуки/(чел.год), услуги/(чел. год);

₂ — розничная цена товара или услуги с размерностью: рубли/тонны, рубли/штуки, рубли/услуги;

₃ — численность населения страны.

Если цены рассчитываются для данного региона, то, конечно, значения переменных, входящих в формулы (3.8), (3.10), (3.12), берутся для данного региона. В некотором приближении можно положить k = 0.

Рассмотрим применение формулы (3.12) для с₁, в конкретных расчетах (расчетная валюта — украинские гривны, грн.)

Хлопчатобумажные ткани

₁ = 22,4 м²/(чел.год), ₂ = 12 грн/м²,

₃ = 47,810⁶ человек,  = 1,210⁹ м²/год,

у₀ = 150,610⁶м²,  = 2 года.

Тогда для цены на хлопчатобумажные ткани получается величина:

с₁ = 11,42 грн./м².

Чулочно-носочные изделия

₁ = 9,5 грн/пара, ₂ = 2,5 грн/пара,

₃ = 47,810⁶ человек,  = 1,210⁹ пар/год,

у₀ = 0,2510⁹ пар  = 0,3 года.

Тогда с₁ = 3,06 грн/пара.

Мясо

₁ = 65,5 кг/(чел.год), ₂ = 8000 грн/тонны

₃ = 47,810⁶ человек,  = 3,1 • 10⁶ тонн/год,

у_о= 0,2210⁵ тонн,  = 8/365 года.

Тогда ,

где величина 3/18 — доля мяса птицы в общем количестве потребляемого мяса и в запасах.

Величина для цены 9,16 грн/кг получается в случае, если в продажу поступает все мясо в убойном весе. Если же из потребления на душу населения вычесть колбасы и другие виды продукции из мяса, то же самое сделать и для производства мяса, считая, что половина мяса в убойном весе идет на колбасы и другие изделия, т.е. ₁ = 65,5(1-3/18)/2 кг/(чел.год) и =(3,1/2)10⁶ тонн/год, то получим с₁ = 14,4 грн/кг.

В условиях дефицита величина j несколько превышает величину ₁₂₃, поэтому цены, балансирующие спрос, предложение, запасы и долговечность товаров в формулах (3.10), (3.12) немного повышаются с помощью коэффициента (k+1), так как в условиях дефицита спрос удовлетворяется не, полностью. Эти же цены растут при росте зарплаты, большем, чем скорость роста выпуска изделий. Поэтому цены, исчисляемые по формулам (3.10), (3.12), нужно время от времени корректировать. Эти цены могут быть постоянными или уменьшающимися, если производительность труда по созданию товаров увеличивается быстрее, чем растут денежные доходы потребителей.

В качестве величины k, входящей в формулы (3.10), (3.12), можно брать отношение средней величины остатка доходов потребителей, не израсходованного на приобретение товаров, ко всей величине средних денежных доходов. Так, например, если средняя зарплата населения в месяц составляет 150 грн., а неизрасходованный в среднем остаток — 15 грн., то k = 15/150 = 0,1.

Аналогичным образом рассчитываются цены на различные технические изделия и другие товары.

Заметим, что для балансировки платежеспособного спроса и предложения одних цен недостаточно: необходимо обязательно учитывать в цене запасы товаров и их долговечность, связанную одновременно с физическим износом и моральным старением. В случае продовольственных товаров под долговечностью г понимается среднее время расходования этих товаров в пищу.