5.4. Оптимизация бизнес-проектов на основе операционных математических моделей

Операционная математическая модель является достаточно универсальным средством поддержки управленческих решений, поскольку она является, по сути, информационным образом проектируемого объекта (бизнес-проекта). Подход, основанный на операционной методологии, с учетом высоких вычислительных возможностей современных программно-технических комплексов, позволяет отказаться от традиционного взгляда на классы математических моделей. В условиях работы с современными информационными системами и информационными технологиями становится практически безразлично, является ли полученная операционная математическая модель линейной или нелинейной, относится ли она к классу транспортных задач или задач управления запасами. Важным является лишь грамотная формализация бизнес-проекта и использование эффективного метода математического программирования. Современные программные средства поддерживают решение достаточно сложных оптимизационных задач. В частности, в программном продукте Microsoft Excel имеется мощный решатель «Поиск решения», в который встроены наиболее эффективные вычислительные алгоритмы метода сопряженных градиентов и метода Ньютона.

Таким образом, операционная математическая модель базируется на инвариантной по отношению к виду бизнес-проекта процедуре определения типовой триады эффективного управления:

1. определение цели проекта с формализацией этой цели в виде критерия эффективности;

2. определение управляемых переменных, изменение которых влияет на достижение поставленной цели;

3. описание ограниченных ресурсов бизнес-проекта, которые формализуются в виде системы ограничений задачи математического программирования.

Что касается ресурсов, то их следует понимать достаточно широко в качестве тех факторов, которые в общем случае препятствуют достижению цели. Это могут быть внутренние ресурсы предприятия, выражающие ограниченные производственные мощности по всем аспектам производства продукции, препятствующие получению большей прибыли. К внешним ресурсам могут быть отнесены ограниченные возможности сбыта готовой продукции (емкость рынка), обязательные поставки продукции по договорам (заметим, что договорные обязательства также относятся к ограниченным ресурсам, так как по договорам поставки продукции необходимо производить, даже если это оказалось экономически невыгодно). Такие ограничения также препятствуют получению большей прибыли.

Рассмотрим задачу управления производством на основе операционной математической модели. Основной формой деятельности любого предприятия является производство тех или иных видов продукции. При этом в процессе производства предприятие потребляет (расходует) определенные виды ресурсов: труд, сырье, оборудование, денежные средства, природные ресурсы и т.п. Поскольку обычно размеры ресурсов ограничены, возникают определенные проблемы их рационального распределения. Если предприятие выпускает продукцию нескольких видов с использованием одних и тех же ресурсов (например, оборудование, трудовые ресурсы), то администрация должна решить, какое количество продукции каждого вида производить. Принятое решение будет направлено на удовлетворение определенной цели администрации. Для удовлетворения этой цели администрация располагает управляющими переменными решения. Переменные решения — это количество продукции каждого вида, которое необходимо произвести за данный период времени.

В общем случае цель менеджмента предприятия состоит в определении наиболее эффективного метода такого распределения ресурсов по соответствующим переменным, которое оптимизирует некоторый результат функционирования системы.

Таким образом, постановка задачи управления высшего уровня (первого лица или первых лиц фирмы) может быть сформулирована так: при сложившейся номенклатуре выпускаемой продукции определить оптимальные объемы выпуска каждого вида продукции за определенный период, обеспечивающие при ограниченных ресурсах максимальную суммарную прибыль компании.

Такая задача эффективно решается с использованием математического моделирования в среде информационных технологий.

В общем виде такая задача математически формулируется следующим образом:

F(x)  max

при ограничениях:

g_j(x)b_j, j = 1,2,3, ... m (5.6)

Здесь: F(x) — целевая функция, выражающая главную цель данной задачи — максимизировать прибыль. Таким образом, F(x) представляет собой математическое выражение, описывающее прибыль через управляющие переменные х. Переменные же х = (х₁, х₂, ... x_n)— это искомые объемы выпуска соответствующего вида продукции;

b_j = (b₁, b₂, ... , b_m) — величины соответствующих ресурсов предприятия;

g_j(x) = (g₁(x), g₂(x), ... , g_m(x)) — текущие суммарные расходы ресурсов предприятия при фиксированных объемах выпуска каждого вида продукции. Эти расходы не должны превышать величин соответствующих ресурсов, которыми располагает предприятие.

При известных расчетных величинах прибыли на единицу объема выпуска каждого вида продукции целевая функция F(x), отражающая величину суммарной прибыли предприятия по всем видам продукции в зависимости от объемов выпуска х = (х₁, х₂, ... x_n), может быть представлена в виде:

, (5.7)

где с₁, с₂, с₃, ..., с_n — удельные (рассчитанные на единицу объема выпуска) величины прибыли по каждому виду продукции;

n — количество видов выпускаемой продукции (номенклатура).

Система ограничений по ресурсам может быть записана следующим образом:

— ограничение по 1 -му ресурсу:

— ограничение по 2-му ресурсу:

— ограничение по 3-му ресурсу:

……………………………………………………………………………………….

• ограничение по m-му ресурсу:

(5.8)

(всего m ресурсов).

В системе ограничений (5.8) а₁₁, а₁₂, а₁₃, ... , а₂₁, а₂₂, а₂₃ ... и т.д. — расходы соответствующих ресурсов на единицу объема выпуска каждого вида продукции. Система ограничений (5.8) должна быть дополнена требованиями неотрицательности всех х, так как объемы выпуска по смыслу задачи не могут выражаться отрицательными числами.

Таким образом, математическая модель оптимизацииобъемов выпуска продукции по критерию максимума прибыли записывается в виде:

(5.9)

Математическая модель (5.9) предполагает неограниченные потребности рынка на все виды продукции (не ограничены объемы выпуска сверху) и отсутствие обязательных поставок (не ограничены объемы выпуска снизу). Если же запросы рынка (возможность сбыта) по каким-либо (или по каждому) видам продукции ограничены, а также имеются ограничения снизу в виде обязательных объемов выпуска по заключенным договорам или в связи с внутренними потребностями (данная продукция как сырье или материалы используется в собственном производстве), то математическая модель должна быть дополнена соответствующей группой ограничений по минимальным и максимальным объемам поставок по каждому виду продукции. Такие ограничения имеют вид:

(5.10)

Возможна и другая формулировка задачи управления: найти оптимальные объемы выпускаемой продукции х = (х₁, х₂, ... x_n), обеспечивающие минимум издержек (затрат производства) при сохранении установленного суммарного уровня прибыли (или выручки) A_min.

В этом случае целевая функция математической модели управления имеет вид, по структуре аналогичный формуле (5.7), с той однако разницей, что в этом случае целевая функция представляет собой суммарные издержки производства при объемах выпуска продукции х = (х₁, х₂, ... х_п).

, (5.11)

Здесь с₁, с₂, с₃, ..., с_n — удельные (рассчитанные на единицу объема выпуска) величины затрат по каждому виду продукции.

Ограничение по установленному уровню прибыли может быть записано следующим образом:

(5.12)

В формуле (5.12) а₁, а₂, а₃, ..., а_п — удельные (рассчитанные на единицу объема выпуска) величины прибыли по каждому виду продукции, а правая часть неравенства представляет собой суммарную прибыль за заданный промежуток времени при объемах выпуска продукции х = (х₁, х₂, ... х_п) за этот промежуток времени.

Ограничения по минимальным и максимальным объемам поставок продукции, как и ранее, имеют вид (5.10)

Таким образом, в такой постановке математическая модель верхнего иерархического уровня управления имеет вид:

(5.13)

Информационное обеспечение математической модели управления

В качестве исходной информации для решения задачи управления по оптимизации объемов выпуска продукции требуется, прежде всего, матрица расходов ресурсов по каждому виду продукции, то есть коэффициенты а.. системы ограничений (5.9) (здесь j — номер ресурса, i — номер соответствующего вида выпускаемой продукции).

При решении задачи для получения матрицы расходов ресурсов необходимо тщательно проанализировать наличные ресурсы предприятия и определить их расходы на единицу объема выпуска каждого вида продукции.

В качестве вспомогательного материала для анализа ресурсов может быть использована приведенная ниже таблица общего представления ресурсов.

После анализа наличных ресурсов предприятия и расчета удельных расходов ресурсов по каждому виду продукции составляется соответствующая матрица коэффициентов, в общем виде представленная в виде таблицы 5.1.

Таблица 5.1

Вид ресурса	Составляющие	Единицы расхода	Примечание
Люди Материалы (сырье)	Управление Производство Маркетинг Металл Зерно Мука Древесина Доска и т.п.	человеко-часы тонны, кубометры, кв.м и т.п.	В зависимости от структуры материалов
Оборудование	Станки Машины Компьютеры и т.п.	часы, киловатты и т.п.	В зависимости от вида оборудования
Услуги сторонних организаций	Заключение договоров Оформление документов Закупки сырья и т.п.	рубли, тыс.руб, доллары США и т.п.
Энергоноси-тели	Электроснабжение Теплоснабжение Газоснабжение	квтчас, ккал, кубометры и т.п.	В зависимости от вида энерго- носителя
Земля	Общая площадь, занимаемая предприятием	кв.м
Здания и сооружения	Производственные площади Площади вспомогатель-ных комплексов (котельная, склады и т.п.)	кв.м
Природные ресурсы	Вода, Лес, Полезные ископаемые, Геотермальные источники, Ветер и т.п.	кубометры, тонны, ккал, квт и т.п	В зависимости от вида ресурсов

Кроме того, для информационного обеспечения указанной математической модели требуется привести данные по предельным значениям ресурсов, которыми располагает предприятие за определенный (выбранный) промежуток времени. Эти значения используются как граничные в системе ограничений математической модели.

Если на основе маркетинговых исследований имеется прогноз требований рынка на период, для которого решается задача оптимизации, то эти данные используются для дополнения системы ограничений, как это было показано выше. Точно так же в качестве входной информации необходимы данные для каждого вида продукции по требуемым величинам объемов поставок в соответствии с заключенными договорами на соответствующий период. Эти данные используются для записи ограничений снизу на объемы выпуска. Здесь же могут быть учтены данные по потребностям в соответствующей продукции для внутренних нужд предприятия (для продукции, производимой из собственного сырья).

Ресурсы	Удельный расход по 1-му виду продукции	Удельный расход по 2-му виду продукции	Удельный расход по 3-му виду продукции	…	Удельный расход по n-му виду продукции
Ресурс 1	a11	a12	a13	…	a1n
Ресурс 2	a21	a22	a23	…	a2n
…	…	…	…	…	…
Ресурс m	am1	am2	am3	…	amn

Решение такой задачи позволяет руководителю определить оптимальные объемы выпуска, выявить те виды продукции, выпускать которые в этих условиях нецелесообразно, а, возможно, и сделать вывод об изменении номенклатуры. Приведенная модель позволяет выбрать наиболее подходящую альтернативу заменяемым компонентам номенклатуры.