1.4. Моделирование объектов и систем

Процесс познания человеком окружающего мира в значительной мере связан с созданием моделей, построенных по принципу аналогий с изучаемым объектами. Концепция модели использовалась людьми для выражения как реальных объектов (наскальная живопись, идолы), так и абстрактных понятий (системы дифференциальных уравнений). Мир моделей безгранично обширен и разнообразен.

Решение проблем управления показывает, что на всех трех стадиях процесса принятия решений, в особенности же на стадии конвергенции — свертывания рассматриваемой проблемной ситуации к конкретному решению — основным фактором успешного исхода является научно обоснованная формализация задачи. Такая формализация позволяет бытующему зачастую в практике управления экономикой методу «проб и ошибок» и решениям, основанным только на суждениях, противопоставить четкие количественные оценки ожидаемых результатов принятия того или иного решения. Такая формализация успешно осуществляется на основе математического моделирования, которое является неотъемлемой концептуальной частью науки управления, успешно реализуемой в рамках экономической кибернетики. Понимание и использование кибернетического подхода существенно для руководителя, стремящегося действительно эффективно применить возможности этой науки для того, чтобы реально управлять ситуацией, а не быть рабом обстоятельств. Поскольку сохраняется и усиливается тенденция все большего усложнения современного делового мира, то в роли случайного наблюдателя руководитель не сможет адекватно реагировать на развитие этого мира.

Создание моделей реальных бизнес-проектов и объектов управления является квинтэссенцией кибернетического подхода к решению задач оптимизации социально-экономических систем. Здесь моделирование играет роль, аналогичную лабораторному эксперименту в естественных науках. Это тем более важно, что осуществление реального эксперимента в социуме может слишком дорого обходиться как в материальной, так и в социальной сфере.

Построение модели помогает привести сложные и подчас непреодолимые факторы, связанные с проблемой принятия решения, в логически стройную схему, доступную для детального анализа. Такая модель позволяет выявить альтернативы решения задачи и оценить результаты, к которым они приводят, а также дает возможность определить, какие данные необходимы для оценки имеющихся альтернатив. В итоге это обеспечивает получение обоснованных выводов. Коротко говоря, модель является средством формирования четкого представления о действительности.

Слово «модель» имеет несколько смысловых оттенков, каждый из которых оказывается существенным для исследования операций. Прежде всего «модель» может быть физической копией реального объекта. Примером таких моделей являются, например, уменьшенные копии самолетов и автомобилей, используемые чаще всего для определения аэродинамических характеристик проектируемых конструкций. В таких случаях говорят о физическом моделировании и о физических моделях, воспроизводящих объект исследования во всех основных характеристиках (вплоть до материалов, из которых они изготовлены), но отличающихся от реального объекта меньшими (реже — большими) размерами. Достоинством таких моделей является близость их свойств к свойствам объекта исследования, но, как правило, значительно меньшая стоимость по сравнению со стоимостью реального объекта.

Большая группа моделей, называемых аналоговыми моделями, представляет исследуемый объект его аналогом, в той или иной форме воспроизводящим основные функции реального объекта. Например, участок электрической цепи, подчиняющийся известному Закону Ома, может быть электрическим аналогом движения товарной продукции из одного пункта (с высоким потенциалом насыщения рынка) в другой пункт, имеющий меньший уровень насыщенности рынка этим товаром. Аналоговой моделью является и график, описывающий связь между величиной прибыли и объемом производства. Здесь в графической форме отражено функциональное свойство исследуемого объекта — важного экономического показателя предприятия. Часто используемой в менеджменте аналоговой моделью является изображенная графически функциональная или организационная структурная схема, позволяющая в наглядной форме отразить сложные функциональные и организационные связи реального предприятия, фирмы, учреждения и т.п.

В задачах принятия решений большую роль играют математические модели, представляющие собой совокупность математических объектов (чисел, символов, множеств и т.д.) и связей между ними, отражающих в символьной форме важнейшие для исследователя свойства изучаемого объекта. Так, формула Р=ПР/И, определяющая уровень рентабельности (Р) через величины прибыли (ПР) и издержек производства (И), является математической моделью, описывающей одно из важных функциональных свойств действующего предприятия.

В последние годы в менеджменте (да и не только в менеджменте) все большее значение приобретают так называемые семантические модели, отражающие функции исследуемого объекта в виде семантических алгоритмов (правил, свойств, признаков), описанных в словесной форме. Значимость этих моделей особенно возросла в последние годы в связи со ставшими реальными возможностями обработки семантических алгоритмов современными программными средствами.

«Модель», таким образом, является не самой действительностью, а некоторой ее идеализацией, в которой часто отсутствуют определенные детали, а глагол «моделировать» применяется в смысле «определять результаты идеализированного представления». Это понятие может вызывать в сознании образы многочисленных рекламных телепередач, пытающихся в эффектной художественной форме продемонстрировать механизм того «чуда», когда покупатель оказывается «в лоне любви и счастья» сразу же после приобретения рекламируемого товара.

Многочисленны определения модели, используемые различными исследователями. Достаточно распространенным и общим является следующее, модель — представление системы, объекта, понятия в некоторой форме, отличной от формы их реального существования.

В кибернетическом моделировании доминирующую роль играет сходство поведения и/или структуры оригинала и модели, различие в содержании не играет определяющей роли, поскольку аналогичные зависимости между входами и выходами могут быть, по определению, реализованы объектами различной природы.

Подводя итог, дадим обобщенное определение модели. Модель — информационный образ реального объекта, воспроизводящий данный объект (систему) с определенной степенью точности и в форме, отличной от формы самого объекта (системы).

В свете изложенного можно сделать вывод, что любому реальному изменению искусственной среды, происходящему в событийном пространстве, предшествует тот или иной проект, то есть информационный образ будущего реального объекта или процесса. В этом смысле, с нашей точки зрения, информационный образ есть не что иное, как модель объекта событийного пространства.

Более того, создание и функционирование множества таких моделей есть необходимое условие когерентного существования отдельных систем и самоорганизации информационного общества. Поскольку адекватный социальной реальности информационный образ, выбранный из множества созданных интеллектом вариантов, способен ускорить достижение цели с минимальным использованием ресурсов при максимальном учете целей всех субъектов, участвующих в данном виде человеческой деятельности.

Информационный образ возникает в результате целенаправленной деятельности субъектов различных процессов, являясь нематериальным артефактом, закрепленным на материальном носителе, будь-то бумага, жесткий диск компьютера и пр. Поскольку информационный образ создается в соответствии с целями субъекта, то он одновременно соответствует свойствам как абстрактного, так и идеального объектов. С одной стороны, он носит некие общие, типичные признаки реального объекта, ставшего базой для информационного проектирования в виде образа информационного, с другой — как идеальный объект, отделяющий сущность от явления, в зависимости от поставленной субъектом задачи устраняет или усиливает качества, свойственные реальному объекту. Тем самым, информационный образ как объектный результат деятельности становится инструментом субъекта информации при формировании представления о реальном объекте.

В свою очередь, для объекта массовых информационных процессов, каковыми являются социальные группы и индивиды, информационный образ, направленный субъектом к объекту по соответствующим коммуникативным каналам, становится объектом познания как явление внешнего мира. Информационный образ в полном соответствии с теорией познания отражается в сознании индивида, которое обрабатывает поступившую информацию и создает свои собственные мысленные образы относительно сущности полученного информационного образа, в конечном итоге превращая их в коллективные представления и социальные стереотипы. Тем самым информационный образ — нематериальный продукт деятельности субъекта информации — придает объекту информации функции субъекта системы познавательной деятельности. Одновременно с этим информационный образ является своего рода буфером, информационной зоной отчуждения, препятствующим получению знания об объекте индивидом непосредственно через формы чувственного познания.

Интеллектуальная деятельность по созданию информационных образов, как одно из проявлений доминирующей роли параметра «накопление, хранение и переработка информации» социального организма информационного общества приводит (при всех имеющихся на социальном уровне издержках) к тому, что субъекты общественной деятельности в информационном обществе вынуждены из системных принципов учитывать цели других субъектов, что автоматически, хотя бы частично, не может не упорядочивать всей общественной деятельности.

Математическое моделирование

В кибернетике, как правило, используются математические модели, обязательно являющиеся некоторым приближенным отображением действительности. Традиционным представлением о математической модели является ее восприятие как инструмента для прогнозирования последствий альтернативных действий с целью выбора наиболее предпочтительного. Однако значительно важнее то, что моделирование — это метод, повышающий эффективность суждений и решений. Математические модели используются для формализации целей, присущих большинству экономических систем, и имеющихся ограничений, налагаемых действующими экономическими законами.

Математическое моделирование — процесс создания модели и оперирование ею с целью получения требуемых сведений о реальном объекте — имеет ряд преимуществ по сравнению с альтернативным физическим моделированием (макетированием). К этим преимуществам, прежде всего, относятся: меньшие сроки на подготовку анализа, значительно меньшая материалоемкость, особенно в крупных проектах, возможность выполнения экспериментов в критических режимах, которые привели бы к разрушению физического макета (а в социальной сфере могли бы привести и к более серьезным последствиям).

Однако имеется большое количество проблем, не поддающихся адекватному моделированию, например: защита окружающей среда от загрязнений, предотвращение преступности, управление развитием и ростом городов, и т.п., — они характеризуются неясностью и противоречивостью целей, альтернатив развития, диктуемых нестабильными политическими и социальными факторами.

Математические модели многофункциональны, их основные функции характеризуют широту области их применения:

1. Модели являются важным средством осмысления действительности (графические, масштабные, сетевые модели).

2. Модели выступают своеобразным средством общения, поскольку в сжатой, точной форме позволяют организовать диалог.

3. Модели выполняют функцию обучения и тренажа (обучающие программы, имитационные игры на компьютере, использующие принципиально отличные от реальных стимулы и мотивы принятия решении).

4. Модели широко используются как инструмент прогнозирования и планирования, позволяя рассмотреть значительное число альтернатив и оценить возможные по следствия от принятия того или иного решения.

5. Моделирование является основным методом оптимизации управленческих решений, отображая или воспроизводя условия развития исследуемого процесса.

6. Применение моделей как средства построения экспериментов позволяет осуществлять управление процессом исследования с большей простотой и меньшими затратами, чем если бы эксперимент проводился с реальной системой, получая, зачастую, больше полезной информации о поведении системы в условиях широкого спектра изменяющихся факторов внешней среды.

Математическая модель должна строиться таким образом, чтобы отражать сущность моделируемой проблемы управления. В то же время модель должна быть достаточно свободной от несущественных деталей, что позволяет отыскивать более эффективное решение, которое можно реализовать на практике. Определение правильного баланса между степенью адекватности модели той действительности, которую она описывает, и возможностью получения из модели реализуемого решения в большинстве случаев представляет собой сложную задачу, и поэтому построение моделей может оказаться делом далеко не легким.

Моделирование большинства объектов управления может выполняться на микро, макро и метауровнях, различающихся степенью детализации рассмотрения процессов в объекте, что определяется уровнем решаемой проблемы и задачами исследования.

Требования к математическим моделям

К математическим моделям предъявляются требования универсальности, адекватности и экономичности.

Степень универсальности математической модели характеризует полноту отображения в модели свойств реального объекта. Поскольку модель отражает лишь некоторые свойства объекта, то важным является установление оптимальной степени универсальности, отвечающей основным задачам исследования. Так, например, при использовании математических моделей в функциональном проектировании, они предназначены для отображения протекающих в объекте функциональных процессов (например, денежных потоков в действующем предприятии). При этом не требуется, чтобы модель описывала другие свойства объекта (например, размеры окон в производственных зданиях предприятия), что, впрочем, может потребоваться при решении каких-либо других задач управления (например, оптимизации условий труда работников).

Адекватность математической модели — это ее способность отображать заданные свойства объекта с погрешностью, не выше заданной. При этом часто говорят о точности модели, которая оценивается степенью совпадения значений параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью рассматриваемой математической модели.

Оценка адекватности пары «оригинал-модель» может быть осуществлена с использованием понятий изоморфизма и гомоморфизма.

Изоморфизм. В строго математическом смысле изоморфизм двух систем: означает, что между входами и выходами обеих систем существует взаимно однозначное соответствие. Понятие изоморфизма систем распространяется и на структурные, и на поведенческие характеристики систем. Системы S₁ и S₂, между которыми существует отношение изоморфизма, называются изоморфными. Так, например, изоморфны местность и географическая карта, объект съемки и фотография, снимок и негатив и т.д.

Понятие изоморфизма в моделировании относительно, поскольку исходно модель является лишь некоторым приближением оригинала. В целом же, если между двумя объектами может быть установлено сходство в каком-либо одном определенном смысле, то между этими объектами существуют отношения оригинала и модели.

Наличие изоморфизма между системой-оригиналом и системой-моделью характеризует весьма высокую степень адекватности, обеспечение которой при построении модели сопряжено с большими трудностями и, вообще говоря, не является необходимым. При построении моделей исследователь, руководствуясь конкретными целями, выделяет лишь наиболее существенные факторы, присущие реальной системе, которые в модели должны быть отражены с максимальной полнотой и точностью, требуемой в данном исследовании. Остальные, несущественные факторы могут отражаться в модели либо с меньшей точностью, либо могут быть исключены. Это является преимуществом модели, поскольку позволяет проводить исследование на более простом, по сравнению с реальным, объекте. Отсутствие полного совпадения всех характеристик модели и оригинала, особенно в области экономико-математического моделирования, не позволяет утверждать наличие изоморфизма между реальной системой и ее моделью.

Важным частным случаем соотношения «оригинал-модель» является отношение гомоморфизма, при котором между системами S₁ и S₂, существует однозначное прямое и неоднозначно-обратное соответствие. Так, модель, полученная из реальной системы путем ее упрощения (например, за счет уменьшения числа переменных путем их объединения) является гомоморфной моделью.

Экономичность математической модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов (затратами машинного времени и памяти) на ее реализацию. Чем меньше эти затраты ресурсов, тем модель экономичнее. Следует, впрочем, отметить, что это свойство моделей в связи с бурным развитием информационных технологий в последнее время все в большей степени утрачивает свое значение, оставаясь важным разве что для моделей супермасштабных проектов.

Классификация математических моделей

признаки классификации и типы математических моделей, которые могут использоваться в задачах менеджмента, приведены в таблице 1.1.

Таблица 1.1.

Признак классификации	Математические модели
Характер отображаемых свойств объекта	Структурные; функциональные
Принадлежность к иерархическому уровню	Микроуровня; макроуровня; метауровня
Степень детализации описания внутри одного уровня	Полные; макромодели
Способ представления свойств объекта	Аналитические, алгоритмические, имитационные, семантические
Способ получения модели	Теоретические, эмпирические

По характеру отображаемых свойств объекта математические модели делятся на структурные и функциональные.

Структурные математические модели предназначены для отображения структурных свойств объекта и делятся на топологические и геометрические.

В топологических моделях отображаются состав и взаимосвязи элементов объекта. Их чаще всего применяют для описания объектов, состоящих из большого числа элементов, при решении задач привязки их к определенным пространственным позициям (например, в транспортной системе) или к относительным моментам времени (например, при разработке расписаний). Топологические модели могут иметь форму графиков, таблиц (матриц), списков и т.п.

В геометрических моделях, дополнительно к сведениям о взаимном расположении элементов, содержатся сведения о форме компонентов объекта. Эти модели применяют при решении различных задач проектирования (например, зданий, парковых зон и т.п.).

Функциональные математические модели предназначены для отображения процессов (физических или информационных), протекающих в объекте при его функционировании или изготовлении. Обычно функциональные модели содержат алгоритмы, связывающие фазовые переменные, внутренние, внешние или выходные параметры. Деление описаний объектов на аспекты и иерархические уровни непосредственно касается математических моделей. Выделение аспектов описания позволяет выделять комплексы алгоритмов, относящихся к той или иной сфере деятельности объекта, и проводить декомпозицию модели по этому (аспектному) признаку. Деление объектов на иерархические уровни приводит к определенным уровням моделирования, иерархия которых определяется как сложностью объектов, так и возможностью средств управления.

В зависимости от места в иерархии описаний математические модели делятся на микро-, макро- и метамодели. Эти модели по своей структуре и содержащимся в них математических объектах могут не отличаться (что позволяет применять одинаковые алгоритмы их решения). Их отличие состоит в основном в том, что на более высоком уровне иерархии компоненты модели принимают вид достаточно сложных совокупностей элементов предыдущего уровня. Этими же аспектами определяется и разделение моделей по степени детализации описаний объектов.

Экономико-математическая модель — это совокупность математических выражений, описывающих экономические объекты, процессы и явления, исследование которых позволяет получить необходимую информацию для реализации целей управления моделируемой системой.

Экономико-математическая модель, как правило, включает три основные составные части:

1. целевую функцию, или функционал модели — математическое выражение цели;

2. систему функциональных ограничений, определяющих пределы изменения исследуемых характеристик объектов, процессов или явлений;

3. систему параметров модели, фиксирующих условия проведения модельного эксперимента (система норм, нормативов, временные параметры реального времени, системного времени, начальные условия и т.п.).

В общем виде компонента экономико-математической модели системы в виде алгоритма связи параметров может быть записана в виде:

где х_i — управляемые (экзогенные) переменные; факторы; входы;

а_j — неуправляемые переменные;

Y— зависимые (эндогенные) переменные, отклики, исходы;

F — определяет вид функциональной зависимости, играет роль оператора преобразования.

Управляемые переменные — набор мероприятий и их параметров, которыми может управлять лицо, принимающее решение. Так, приобретая автомобиль, покупатель может выбирать марку и модель автомобиля, дополнительное оборудование салона, способ финансирования покупки и т.д. Эти переменные могут быть количественными (например, мощность двигателя автомобиля) или качественными (например, цвет автомобиля). Набор (вектор) управляемых переменных характеризует выбор.

Выбор, то есть принятие решения — это процесс нахождения линий поведения (стратегий), определяемых значениями одной или большого числа управляемых переменных. Должно существовать не менее двух возможных стратегий, в противном случае проблемы не возникает, так как нет выбора. В принципе, возможны ситуации, в которых может существовать и бесконечное множество линий поведения.

Неуправляемые переменные — ситуации, охватываемые проблемой, которыми не может управлять лицо, принимающее решение, но которые совместно с управляемыми переменными могут влиять на результат его выбора! Например, от покупателя не зависят налог на доход от продажи автомобиля и затраты на получение водительских прав, хотя они влияют на результат — стоимость покупки. Эти переменные также могут быть количественными или качественными. В совокупности они образуют окружающую среду (фон) проблемы. Следует иметь в виду, что неуправляемым переменным совсем не обязательно присуще свойство неуправляемости: просто они могут регулироваться другими лицами (организациями). Налог с оборота регулируется законодательными органами; поступление на промышленное предприятие заказов на изготовление продукции не зависит от руководителя производственного отдела, но оно может находиться под контролем маркетинговой службы; в иерархической организации каждый уровень управляет теми переменными, которые не могут контролироваться более низкими уровнями.

Возможные исходы (отклики) — это зависимые переменные, которые зависят как от выбора, так и от неуправляемых переменных. Например, покупатель может приобрести либо действительно хороший автомобиль, либо широко разрекламированную, но неудачную модель. Заметим, что должно быть не менее двух возможных исходов, в противном случае выбор не влияет на исход. Более того, как минимум, два возможных исхода должны быть неравноценными, так как в противном случае не имеет значения, какое решение принято.

Следует иметь в виду, что управляемые и неуправляемые переменные подвержены отклонениям, случайным (стохастическим) возмущениям, что, естественно, влияет на возможные исходы и должно учитываться при конструировании алгоритма.

При моделировании сложной системы исследователь обычно использует совокупность (агрегат) алгоритмов. Любая система может быть представлена различными способами, отличающимися по сложности и в деталях. По мере того, как исследователь глубже анализирует и познает проблему, простые модели сменяются все более сложными.

Методика моделирования. Основой успешной методики моделирования является многоэтапный процесс отработки модели. Обычно начинают с более простой модели, постепенно совершенствуя ее, добиваясь, чтобы она отражала моделируемую систему более точно. До тех пор, пока модель поддается математическому описанию, исследователь может получать все новые ее модификации, детализируя и конкретизируя исходные предпосылки. Когда же модель становится неуправляемой (слишком сложной), проектировщик прибегает к ее упрощению и использует более общие абстракции. Процесс моделирования, таким образом, носит итерационный характер и осуществляется в соответствии со следующими этапами.

Этапы моделирования:

1. Анализ проблемы и определение общей задачи исследования.

2. Декомпозиция общей задачи на ряд более простых подзадач, образующих взаимосвязанных комплекс.

3. Определение четко сформулированных целей и их упорядочение.

4. Поиск аналогий или принятие решений о способе построения подмоделей.

5. Выбор системы управляемых и неуправляемых переменных, необходимых параметров.

6. Запись математических соотношений между ними.

7. Анализ полученной модели и начало итерационного конструирования: расширение или упрощение модели.

Упростить модель можно, выполнив одну из перечисленных ниже операций:

• превращение переменных величин в константы;

• превращение вероятностных факторов в детерминированные;

• исключение некоторых переменных или их объединение;

• использование предположений о линейном характере зависимостей между переменными;

• введение жестких исходных предпосылок и ограничений;

• уменьшение количества степеней свободы путем наложения более жестких граничных условий.

Расширение модели предполагает действия, обратные перечисленным.

Процесс создания модели завершается ее проверкой (обоснованием). Обоснование модели предполагает выполнение следующих процедур:

Верификация, проведение которой убеждает в том, что модель ведет себя так, как было задумано.

Оценка адекватности — проверка соответствия между поведением модели и поведением реальной системы.

Проблемный анализ — формулировка значимых выводов на основе результатов, полученных в ходе моделирования.

Как показывает опыт, наибольшая обоснованность модели достигается:

• использованием здравого смысла и логики;

• максимальным использованием эмпирических данных;

• проверкой правильности исходных предположений и корректности преобразований от входа к выходу;

• применением на стадии доводки модели контрольных испытаний модели, подтверждающих работоспособность модели;

• сравнением соответствия входов и выходов модели и реальной системы (если они доступны) с использованием статистических методов и тестовых испытаний;

• проведением, когда это целесообразно, натурных или полевых испытаний модели или ее подмоделей;

• проведением анализа чувствительности модели по отношению к изменяющимся внешним условиям;

• сравнением результатов модельных прогнозов с результат функционирования реальной системы, которая подвергалась моделированию.