3.4. Модели и методы анализа экономической динамики

Математические модели экономической динамики являются формальным описанием множества вариантов развития экономики, или траекторий. Траекторией развития экономики называется отображение, которое каждому значению переменной времени ставит в соответствие состояние экономики в данный момент времени.

Самые общие, абстрактные технологические модели представляют собой описание множества всех технологически допустимых траекторий.

Сравнительно простая непрерывная динамическая модель, адекватно отражающая важнейшие экономические аспекты процесса расширенного воспроизводства, известна в экономической литературе как модель Солгу. Модель Солгу позволяет охарактеризовать основные формальные особенности моделей динамики.

Состояние экономики, согласно модели Солгу, задается совокупностью пяти величин (переменных состояния):

Y — объем конечного продукта;

С — фонд непроизводственного потребления;

S — валовой фонд накопления;

L — объем наличных трудовых ресурсов;

К — объем наличных основных фондов.

Все переменные состояния являются функциями времени:

Y = Y(t), С = C(t), S = S(t), L = L(t), К = K(t)

Считается, что ресурсы К и L используются полностью.

Задана производственная функция:

Y=F(K,L). (3.13)

Конечный продукт равен сумме:

Y=C+S. (3.14)

Фонд накопления составляет фиксированную часть выпуска:

S = sY, где 0<s<l, s=const, (3.15)

или

С = (l-s)Y,

где s — норма накопления.

Чистый прирост фондов

К'(t) = dK(t)/dt

Величина выбытия основных фондов пропорциональна их объему с постоянным коэффициентом ; т.е. если объем действующих фондов равен К, то выбывает и подлежит восстановлению объем К.

Таким образом,

S = К' + K, 0 <  <1, = const. (3.16)

Уравнение динамики трудовых ресурсов имеет вид:

L' = gL, g = const, (3.17)

т.е. прирост рабочей силы пропорционален ее объему.

Заметим следующее. Темпом роста дифференцируемой числовой функции х(t) называется числовая функция . Если темп роста — величина постоянная, т.е. (t) =  = const, функция . Говорят, что х(t) изменяется по экспоненциальному закону.

Таким образом, в уравнении (3.17) g определяет постоянный темп роста рабочей силы.

Производственная функция F (К, L) обладает следующими свойствами:

1. область задания F — множество неотрицательных наборов затрат ресурсов К и L;

2. функция F непрерывна и дважды дифференцируема;

3. функция F линейно однородна: F(aK, aL) = aF(К, L) при всех К, L, а>0;

4. F(0, L) = F(K, 0) при всех К, L;

5. функция F монотонна, т.е. предельные производительности для всех К, L;

6) свойства, учитывающие предельные производительности: при всех значениях К, L.

Определим функцию одного аргумента f(k) = F(k, L). Тогда в силу линейной однородности при L0:

где k=K/L

Величина k характеризует фондовооруженность живого труда, а функция f(k) устанавливает зависимость производительности труда от фондовооруженности.

Основное уравнение модели Солоу

Очевидно, что если бы удалось проследить во времени изменение величины фондовооруженности k, то можно было бы установить и изменения всех переменных модели (3.13)—(3.17).

Можно показать, что динамика величины k описывается дифференциальным уравнением

(3.18)

Согласно общей теории существования и единственности решения дифференциальных уравнений (условия которой в рассматриваемом случае выполнены), если задано начальное состояние k_н, то существует одна и только одна траектория k(t), которая удовлетворяет уравнению (3.18) и начинается из заданного состояния k_н=k(0).

Процедуре получения основного уравнения модели можно дать следующую интерпретацию.

Если бы прирост рабочей силы был нулевым, и основные фонды не изнашивались, то фондовооруженность увеличилась бы на S/L =sf. Износ фондов в объеме К уменьшает это значение на К/L = k.

Чтобы фондами по норме k была вооружена и вновь вовлекаемая рабочая сила L, требуется Lk единиц трудовых ресурсов, что в расчете на каждого занятого составит величину Lk/L, или в пределе L`k/L, что с учетом (3.17) равно gk. Таким образом, общий прирост фондовооруженности равен разности sf — k — gk, о чем и свидетельствует уравнение (3.18).

Среди траекторий, удовлетворяющих уравнению (3.18) существует особая, стационарная, траектория, вдоль которой начальное значение фондовооруженности сохраняется постоянным на все моменты времени (рис. 3.5).

На рис. 3.5 f(k) — зависимость производительности труда от фондовооруженности; (k) — зависимость прироста фондовооруженности от фондовооруженности; k* — стационарное значение фондовооруженности.

Проследим изменение основных переменных моделей при постоянной фондовооруженности. Прежде всего, чтобы фондовооруженность во времени не менялась, необходимо и достаточно, чтобы k(0) = K(0)/L(0) = k*, т.е. в нулевой момент времени необходимо находиться на стационарной траектории. Тогда на основании того, что K(t) = =L(t)k* и того, что L растет с постоянным темпом, следует .

Рис. 3.5. Графическая интерпретация

основного уравнения модели Солоу

Аналогично,

Y(0) =f(k*)L(0), Y(t) =f(k*)L(t),

и поэтому

Таким образом, вдоль стационарной траектории фондовооруженности все основные переменные модели растут с постоянным во времени темпом, равным темпу роста рабочей силы g. Отношения между основными переменными модели при этом не меняются. В частности, не изменяются средняя производительность труда Y(t)/L(t) =f(k*), средняя фондоотдача Y(t)/K(t) = k*f(k*), фонд потребления на одного занятого .

На стационарной траектории значение фонда накопления точно совпадает со значением, которое необходимо для поддержания фондовооруженности на первоначальном уровне. Для этого следует, во-первых, поддерживать на постоянном уровне фондовооруженность уже используемой рабочей силы и, во-вторых, вооружить по той же норме вновь вовлекаемую в процесс производства рабочую силу. Добиться такого совпадения удается только для одного значения фондовооруженности — для значения k*. При k(0)k* оказывается, что фондовооруженность автоматически стремится к значению k* (хотя никогда не достигает его). Иными словами, стационарная траектория k* является устойчивой.

Сходимость траекторий к k* происходит монотонно. Если значение k в некоторый момент времени больше значения k* , то (k) < 0, или, что равносильно, k' < 0. Следовательно, величина k во времени мононотонно убывает. Скорость этого процесса характеризуется второй производной по времени k". Очевидно, что

Так как при k> k* функция (k) убывает, то , поэтому k"<0.

Если в некоторый момент времени k< k * то и k">0. Величина k во времени монотонно возрастает. Вторая производная может быть как положительной, так и отрицательной. Существует такое значение , что при функция (k) возрастает, , и поэтому k">0, а при производная и поэтому k"<0. Временные диаграммы при различных начальных значениях k_н представлены на рис. 3.6.

Вместе с тем очевидно, что при стабилизируются и выравниваются темпы роста основных переменных К, Y, С, S, приближаясь к темпу роста рабочей силы. Одновременно стабилизируются отношения между данными переменными. В этом смысле стационарная траектория описывает тенденцию, или направление развития экономики.

Оптимальная постоянная норма производственного накопления.

Проанализируем процесс управления развитием экономики, описываемый моделью Солоу. Казалось бы, такое рассмотрение бессмысленно, поскольку развитие в этой модели предопределено единственным стационарным значением k*. Однако на самом деле величина k* единственна при фиксированных параметрах модели, к которым относятся коэффициенты g, , s и производственная функция f. При изменении параметров значение k* должно, вообще говоря, также меняться. Поэтому можно попытаться подобрать такие параметры, которые бы обеспечивали осуществление оптимальной в том или ином смысле величины k*. К задачам такого рода относится, например, задача о выборе оптимальной нормы накопления. При фиксированных параметрах  и g и данной производственной функции f требуется выбрать величину накопления s, оптимизирующую величину k*.

Рис. 3.6. Траектория фондовооруженности модели Солоу

при разных начальных значениях k_н

В случае фиксированных , g, f можно говорить о функции, которая связывает норму накопления s со стационарным решением уравнения (3.18) при данном ее значении. Обозначим эту функцию k*(s). В качестве показателя эффективности примем объем фонда потребления. При сравнении траекторий развития экономики по этому показателю главная трудность состоит в том, что на одних траекториях значение фонда потребления больше в одни моменты времени, на других — в другие. Если бы мы захотели назвать оптимальной такую траекторию, для которой фонд потребления во все моменты времени был бы не меньше, чем на любой другой, то вероятнее всего такой траектории просто не нашлось бы. Поэтому обычно предлагают сравнивать траектории по величине интегрального (суммарного) фонда потребления за определенный или за «бесконечный» промежуток времени. При этом возникает проблема дисконтирования, т.е. соизмерения значений одинаковых объемов фонда потребления во времени. В рамках рассматриваемой модели ситуация намного проще. Так как одной из характеристик стационарных траекторий является постоянство фонда потребления в расчете на одного занятого, оптимальной естественно считать ту норму накопления, стационарная траектория которой обеспечивает максимум этой величины. Иными словами, требуется найти значение , для которого при любом 0 < s < 1. Такая норма накопления обеспечивает наилучшую с точки зрения фонда потребления стационарную траекторию, а следовательно, с учетом устойчивости — оптимальную тенденцию развития экономики.

Функция k*(s) является взаимно-однозначной, поэтому сначала можно найти значение k₀*, при котором с(k₀*) > с(k*) для любого стационарного значения k*, а затем восстановить по этому значению k* значение s*, для которого k₀*= k*(s₀). Заметим, что, с(к*) = (l-s)f(k*).

Казалось бы, чем больше значение k, тем больше значение с(k*), так как функция f является монотонно возрастающей. Однако не всякое увеличение фондовооруженности ведет к росту фонда потребления. Фонд потребления увеличивается лишь до тех пор, пока рост производительности труда, вызванный ростом k (который, в свою очередь, является следствием увеличения нормы накопления), опережает рост величины совокупного возмещения (g+)к*. Формально необходимым условием максимума величины с(k*) в точке k* является выполнение в этой точке равенства:

(3.19)

Очевидно, что если , положительное решение к₀* уравнения (3.19) существует и единственно. Соответствующее значение оптимальной нормы накопления имеет вид:

Правило оптимального накопления основано на сравнении стационарных траекторий. Стационарная траектория, соответствующая норме накопления, неравной s₀*, во все моменты времени дает меньший душевой фонд потребления, чем стационарная траектория при норме s₀*.

Описанный подход к оптимизации нормы накопления, предложенный Э.Фелпсом, известен в литературе как «золотое правило» экономического роста.