Глава 12 устойчивость сжатых стержней

Устойчивость или неустойчивость прямолинейной формы оси сжатого стержня существенно зависит от величины сжимающей силы. Нагрузка на стержень, при которой прямолинейная форма перестаёт быть формой устойчивого равновесия, называется критической. При нагрузках, меньших критической, прямолинейная форма оси стержня устойчива. При нагрузках больше критической прямолинейная форма оси стержня становится неустойчивой и стержень переходит к новой криволинейной форме равновесия, при которой происходит резкое нарастание прогибов и напряжений в стержне.

В конструкциях и сооружениях допускаются нагрузки значительно меньше критических. Отношение критической нагрузки к фактической носит название “коэффициент запаса устойчивости”:

(12.1)

Рекомендуемые величины коэффициента запаса устойчивости n_у существенно зависят от материала стержня: для стали n_у равен 1,5…3,0; для дерева 2,5…3,5; для чугуна 4,5…5,5.

Допускаемая сжимающая нагрузка из расчёта на устойчивость:

(12.2)

12.1. Формула Эйлера для определения критической нагрузки

В общем случае сжатого стержня критическое значение нагрузки может быть выражено, как

(12.3)

где Е – модуль упругости; I_min – наименьший из главных центральных моментов инерции сечения; ℓ – полная длина стержня; μ – коэффициент приведённой длины.

Величина коэффициента μ зависит от способа крепления торцевых и промежуточных сечений стержня и для наиболее употребительных расчётных схем приведена в приложении.

Основная формула (12.3) для критического значения нагрузки справедлива только при статических нагрузках и при критических напряжениях, не превышающих предела пропорциональности материала стержня:

(12.4)

12.2. Определение критической силы за пределами пропорциональности. Формула Ясинского

Принимаем следующие обозначения.

Наименьший радиус сечения стержня:

(12.5)

Гибкость стержня:

(12.6)

где μℓ – приведённая длина стойки.

Критические напряжения по Эйлеру:

(12.7)

Обозначим через λ_пред гибкость стержня, для которого критическое напряжение σ_кр равно пределу пропорциональности σ_пц:

(12.8)

Для стержней, у которых λ > λ_пред (для стали ст.3 λ_пред = 100), критическое напряжение σ_КР < σ_ПЦ и для определения критической силы справедлива формула Эйлера (12.3).

Д ля стержней, у которых λ < λ_пред, критические напряжения σ_кр > σ_пц, поэтому для определения критической силы нужно пользоваться эмпирической формулой Ф.С. Ясинского:

(12.9)

где а и b – числовые коэффициенты, имеющие размерность напряжения— (приложение п.5); F – площадь сечения стержня; λ – гибкость стержня, определяемая по формуле (12.6).

Обозначим через λ₀ – гибкость стержней, для которых критическое напряжение σ_кр= а – b·λ равно предельному напряжению при сжатии:

для пластичных материалов σ_кр = σ_т;

для хрупких материалов σ_кр = σ_в. (12.10)

Эмпирическая формула (12.9) используется для определения критической силы в случае стержней, гибкость которых заключена в интервале от λ₀ до λ_пред (для стали ст.3. 40 < λ < 100). Стержни, у которых λ < λ₀, называются стержнями малой гибкости и рассчитываются только на прочность.

Значения коэффициентов а, b и значения гибкостей λ_пред, λ₀ для некоторых материалов даны в приложении 5.