14.1. Колебание систем с одной степенью свободы

Значительная доля повреждений частей современных машин происходит вследствие напряжений, возникающих при колебаниях, возбуждаемых различными периодическими или внезапно приложенными силами.

В некоторых вибрационная нагрузка сама может послужить причиной разрушения, особенно при возникновении резонансных состояний.

Рассмотрим упругую балку, к которой в одном сечении прикреплён груз Р, во много раз превышающий вес балки (рис. 14.1, а), поэтому массой балки при расчёте будем пренебрегать (невесомая балка). Если положение любого сечения балки в данный момент времени определяется одним параметром, например прогибом какого-либо одного сечения, то такая балка представляет собой систему с одной степенью свободы. К ним относятся системы, показанные на рис. 14.1, б, в, г.

14.2. Свободные колебания системы с одной степенью свободы

Рассмотрим невесомую балку с прикреплённым к ней грузом, вес которого Р (рис. 14.2).

Упругая система, выведенная силой из положения равновесия, после прекращения действия будет совершать свободные или собственные колебания.

а)

б) в) г)

Рис. 14.1. Системы с одной степенью свободы

Р Δст

Δ

Рис. 14.2. Упругая система с одной степенью свободы

Дифференциальное уравнение свободных колебаний системы

(14.6)

где Δ˝ — вторая производная; Δ – прогиб, отсчитываемый от положения статического равновесия.

Δ = Р_I·δ , (14.7)

где Р_I – сила инерции груза в рассматриваемый момент времени; δ – прогиб балки под грузом от силы Р₁=1.

Движение массы представляет собой гармоническое колебание

( 14.8)

где А – амплитуда колебаний; φ – начальная фаза; t – время, отсчитываемое от начала колебания; ω – частота собственных колебаний.

График этого колебания показан на рис. 14.3.

Δ период колебаний Т

ACosφ

А

t

0,5π-φ А

ω

π/ω π/ω

Рис. 14.3. График гармонического колебания

Продолжительность полного цикла называется периодом колебания:

(14.9)

Частота собственных колебаний:

(14.10)

14.3. Вынужденные колебания системы

Если колебания системы вызываются силой, действующей по какому-либо закону, то они называются вынужденными.

P Hcos φt

Δ

Рис. 14.4. Схема приложения внешней силы

Предположим, что внешняя сила приложена к системе в том же сечении, где приложен груз Р, и величина её изменяется по периодическому закону (рис. 14.4):

( 14.11)

где Н – наибольшее значение возмущающей силы; φ – частота этой силы (круговая частота).

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

(14.12)

Общий интеграл этого уравнения имеет вид:

(14.13)

Амплитуда вынужденных колебаний:

(14.14)

или после преобразований:

(14.15)

где Δ_ст^Н = Нδ – статический прогиб системы по направлению силы Н от действия этой силы; β – коэффициент нарастания колебаний.

(14.16)

Динамический коэффициент:

. (14.17)

Для определения динамических напряжений в упругой системе, вызванных её вынужденными колебаниями, следует найти напряжения от статически действующей силы Н и умножить их на динамический коэффициент:

( 14.18)

Полные напряжения в упругой системе:

(14.19)

где σ_ст^Р – напряжения от статически действующей силы Р.